高中数学 1.1.2 余弦定理1 新人教A必修5

1.1.2余弦定理.一、复习回顾：1.正弦定理：2.运用正弦定理解三角形的条件：①已知

，解三角形．②已知

，解三角形．两角及任意一边两边及其中一边的对角.二、课题引入——实际情景：我校某研究性学习小组研究三角函数在实际生活中的应用，在其中一次实践活动中，他们在烈士公园年嘉湖畔选定A、B、C三点，借助测量工具测得C点与A、B两点的距离分别约为300米、500米，∠ACB

约为120º，他们将利用数学知识，求得两点A、B

之间的距离.CB300500A120º.ΔABC中，AC=300，BC=500，∠ACB

=120º，求AB长.问题：在已知三角形ΔABC的两边a、b及其夹角C的条件下，能否利用已学的正弦定理解出三角形呢？二、课题引入——数学问题：CB300500A120º.1.2.1余弦定理AbaCBcΔABC中，已知a，b，及∠C，求c边.三、定理探索及证明：.如图，设=a2+b2－2abcosC

.那么∴c2=

a2+b2－2abcosC

.ABCAbaCBc.c2=

a2+b2－2abcosC，三、定理证明：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即：在ΔABC中，a2=b2+c2－2bccosA，b2=

a2+c2－2accosB..余弦定理的推论：

，，.三、定理证明：.四、定理剖析：2.运用余弦定理解三角形的条件：

1.余弦定理与勾股定理的关系：勾股定理，指出了

直角

三角形中三边平方之间的关系；余弦定理指出了

任意

三角形中三边平方之间的关系．余弦定理是勾股定理的推广.（1）已知两边及其夹角，求第三边；（2）已知三边，求任意内角（或其余弦）..五、余弦定理的运用：A300500CB120º【例1】我校某研究性学习小组研究三角函数在实际生活中的应用，在其中一次实践活动中，他们在烈士公园年嘉湖畔选定A、B、C三点，借助测量工具测得C点与A、B两点的距离分别约为300米、500米，∠ACB

约为120º，请利用余弦定理，求得点A、B

的距离..（1）；【例2】在△ABC中，a=3，b=4，c=求三角形的最大内角（2）解三角形.（解决的方法）（2）【方法一】余弦定理

角B(或A).cosA(或cosB)计算器A(或B).（1）；【例2】在△ABC中，a=3，b=4，c=求三角形的最大内角（2）解三角形.（解决的方法）（2）【方法二】正弦定理

角B(或A).sinA(或sinB)计算器A(或B).【练习】1．在△ABC中，下面说法不正确的是（）

A．若a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形B．若a2+b2<c2，则△ABC为钝角三角形C．若a2+b2>c2，则△ABC为锐角三角形D．若△ABC为锐角三角形，则a2+b2>c2C【总结】

在△ABC中，a2+b2=c2∠C为直角；a2+b2<c2∠C为钝角；a2+b2>c2∠C为锐角..2.在△ABC中，若已知a2－b2－c2+bc=0，则∠A=

.60°.六、正弦定理、余弦定理的选用：【例3】在△ABC中，已知

a=2,

求b边长.【变式】在△ABC中，已知

a=2，c=3，

求b边长.ACBac.【方法总结】解三角形时如何选择正弦定理、余弦定理：1.运用正弦定理的条件：

①已知两角与一边；

②已知两边及其中一边的对角.2.运用余弦定理的条件：

①已知两边及夹角；

②已知三边；③已知两边及其中一边的对角（解方程）..

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求角B的大小.【思路一】利用正弦定理边化角；【思路二】利用余弦定理角化边