高中数学 2.3等差数列的前n项和1 新人教A必修5

2.3.1等差数列的前n项和.知识准备1、等差数列的定义：2、等差数列的通项公式：3、等差数列的性质：①若A是a,b的等差中项则：②若则，.1+2+3+……+100=？能不能迅速算出呢？高斯的算法1+100=2+99=3+98=…=101101×50=5050。问题：1+2+3+4+...+2001、高斯如何快速计算的？2、抓住问题的什么特征？.情景导入

我们根据高斯的算法，来计算一下1，2，3，…，n，的前n项的和：最佳方法：由

1

+

2

+…+n-1

+

n

n

+

n-1

+…+

2

+

1

（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）1

+

2

+…+n-1

+

n倒序相加法.

合作探究请同学们结合等差数列的性质，利用倒序相加法探究等差数列的前n项和，并把探究过程写下来。＋.若a=-,则无论x为何数值，分式的值都不为零.若a≠-,则当x=-时，分式的值为零。

公式.等差数列的前n项和公式的其它形式方程的思想——知三求二5个变量:.1.根据下列条件，求相应的等差数列的公式应用.例题讲解

例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？分析：①找关键句；②求什么，如何求？上页下页.解：依题意得，该市在“校校通”工程的经费每年比上一年增加50万元，所以每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.那么，到2010年（n=10),投入的资金总额为答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.上页下页.例题讲解例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？分析：方程思想和前n项和公式相结合解：由题意知：S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式得到还有其它方法吗？方程思想上页下页.一题多解例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？上页下页.一题变式例2变式、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前30项和吗？【另解】由等差数列的性质，可推得：

成等差数列

解得：前30项的和为2730.整体思想点评：

上述方法没有列出方程求出具体的个别量，而是恰当地运用数学中的整体思想来快速求出，要注意体会这种思想在数学中的运用.上页下页.变式提高整体思想.【深化探究】●

如果一个数列的前n项和为其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列.结论：数列是等差数列等价于上页下页.反思公式思考：当首项、公差确定时，Sn的结构有什么特征？

结论：{an}为等差数列

，这是一个

关于

的

没有

的“

”Sn=an2+bn常数项二次函数（注意a还可以是0）n.例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？一题再解.1