高中数学 2.2等差数列的概念及通项公式设计 新人教B必修5

等差数列的概念及通项公式.1+2+3+···+100=?

高斯(1777—1855）德国著名数学家

得到数列1，2，3，4，…，100.引例一

.姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：3000，第二天：3500，第三天：4000，第四天：4500，第五天：5000，第六天：5500，第七天：6000.

得到数列：3000，3500，4000，4500，5000，5500，6000.引例二

.一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度（单位：cm）为：89,83,77,71,65,59,53,47.得到数列：89,83,77,71,65,59,53,47.引例三.

姚明罚球个数的数列：

②3000，3500，4000，4500，5000，5500，6000.

梯子宽度的数列：

③89,83,77,71,65,59,53,47.发现？观察：以上数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。高斯计算的数列：①1，2，3，4，…，100.观察归纳

.

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

递推公式：an－an－1=d（d是常数，n≥2，n∈N*）等差数列定义②3000，3500，4000，4500，5000，5500,6000；公差d=1公差d=500①1，2，3,…,100；③89,83,77,71,65,59,53,47；公差d=-6.2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由

想一想公差是0

3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由

不是

公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0

1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，则公差是多少?若不是，说明理由

公差是-2.a2-a1=da3-a2=dan-an-1=da4-a3=d……a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3dan=a1+(n-1)d……an=a1+(n-1)d等差数列的通项公式当n=1时，等式也成立。

由递推公式：an－an－1=d（d是常数，n≥2，n∈N*）可得:通项公式

已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d.

已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是da2-a1=d……an-an-1=d(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：a3-a2=da4-a3=dan-a1=（n-1）d，（1）（2）（3）（n-1）通项公式

累加法an=a1+（n-1）d即

由递推公式：an－an－1=d（d是常数，n≥2，n∈N*）.在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？A-a=b-A解:依题得,所以,A=(a+b)/2A为a,b的等差中项

新概念.

例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？解：（1）由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=(2)由a1=8,d=－9－(－5)=－4,得到这个数列的通项公式为an=－5－4（n－1）由题意知，问是否存在正整数n，使得－401＝－5－4（n－1）成立解关于n的方程，得n＝100即－401是这个数列的第100项.8+(20-1)×（－3）=-49例题讲解.例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.解：由题意知，a5=10＝a1+4da12=31＝a1+11d解得:a1=-2d=3即等差数列的首项为-2,公差为3.点评：利用通项公式转化成首项和公差联立方程求解..例３

梯子共有5级,从上往下数第1级宽34cm，第5级宽110cm，且各级的宽度依次组成等差数列{an}，求第2,3,4级的宽度．.①求基本量a1和d

：根据已知条件列方程，由此解出a1和d，

再代入通项公式.②像这样根据已知量和未知量之间的关系，

列出方程求解的思想方法，称方程思想.

这是数学中的常用思想方法之一.题后点评③巧妙借助等差中项，求解等差数列中间项问题.注重对方法技巧性的掌握..(1)已知a4=10,a7=19,求a1与d.在等差数列{an}中，(2)已知a3=9,a9=3,求d与a12.解：(1)由题意知，a4=10＝a1+3da7=19＝a1+6d解得:a1=11d=3即等差数列的首项为1,公差为3(2)由题意知，a3=9＝a1+2da9=3＝a1+8d解得:a1=1d=-1所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0

练一练.

我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。问：五人各得几何？”古题今解分析：此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3，∴a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60,∴a1=6,a2=9,a3=12,a4=15,a5=18

即为五等诸侯分到橘子的颗数。点评：解等差数列有关问题时转化为a1和d是常用的基本方法..一个定义：a