高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程 新人教A选修11

双曲线及其标准方程.1.椭圆的定义和等于常数2a

(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的2.引入问题：差等于常数2a的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的模拟试验.观察思考：②如图(B)当|F1M|<

|F2M|时；|F1M|－|F2M|＝－2a

①如图(A)当|F1M|>|F2M|时;|F1M|－|F2M|＝2a差平面内与两定点F1、F2的距离的等于常数2a的点的轨迹是什么呢？上述的两条曲线放在一起我们叫它双曲线每一条叫双曲线的一支

由①②可得：

||MF1|-|MF2||=2a

（差的绝对值）.双曲线定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（a＞0且2a＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做双曲线的焦距。设||F1M|-|F2M||=2a,|F1F2|=2c,动点为M，则:不表示任何图形；因为||F1M|-|F2M||≤|F1F2|(1)当o＜2a＜2c时，动点M的轨迹是什么?(2)当o＜2a=2c时，动点M的轨迹是什么?(4)当2a＞2c＞0时，动点M的轨迹是什么?(3)当2a=0时，动点M的轨迹是什么?双曲线两条射线线段F1F2的垂直平分线F1F2M..F1F2xoy双曲线标准方程推导：（1）建系设标；M（x，y）以过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系；设M（x，y）是双曲线上任意一点，且F1F2=2c，则F1（-c，0）、F2（c，0）。（2）写出点M的集合；

P=｛M-=2a｝（3）列出方程；（4）整理化简；(c2-a2)x2-b2y2=a2(c2-a2)令

c2-a2=b2双曲线标准方程：－=1（a＞0，b＞0）∵∴.F1F2oxyF1F2oxy（1）焦点在x轴上（2）焦点在y轴上－=1－=1F1（-c,0）、F2（c,0）F1（0,-c）、F2（0,c）特征（1）方程的右边是1，方程的左边是平方差的形式；（2）双曲线的焦点所在的坐标轴与方程左边正项的分子相对应。c2－a2=b2.例1已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线焦点在x轴上，所以设它的标准方程为－=1（a＞0，b＞0）∵2a=6，2c=10，∴a=3，c=5。∴b2=52-32=16。所以所求双曲线的标准方程为－=1。...例3求满足下列条件的双曲线标准方程：（1）若a=6，b=3，焦点在x轴上；（2）若a=，过点A（2，-5），焦点在y轴上；（3）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。答案:(1)(2)(3)x236－y29=1x236－y264=1x220－y216=1x236－y264=1或.{m|m>-1或m<-2}练习：1、分别求椭圆的焦点与双曲线的焦点。椭圆中c2=a2-b2,得:c2=25-9=16,c=4.故F1(-4,0),F2(4,0)双曲线为,又c2=a2+b2得:c2=15+1=16,c=4.故F1(-4,0),F2(4,0)同为F(4,0)若为双曲线,则(2+m)(m+1)>0，2、已知方程表示双曲线，则m的取值范围是________________；

3、方程表示双曲线时，则m的取值范围_________________..定义图象方程焦点a.b.c的关系yF1F2