高中数学 2.1.2指数函数及其性质3 新人教A必修1

2.1.2指数函数及其性质

.在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人--宰相西萨·班·达依尔。国王问他想要什么，他对国王说："陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!"国王觉得这要求太容易满足了，命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。1.棋盘上的麦粒总数为：=18446744073709551615(粒)，1000粒约40克麦粒有7000多亿吨（现每年全球的小麦总量约6.5亿吨）问题引入.1．现在假设棋盘上第一格给2粒麦子，第二格给4粒，第三格给8粒…，…到第格时，请写出给的麦子粒数与格子数的关系式。交流探讨、形成概念

…麦子粒数…４３２１.2.《庄子天下篇》庄子.问题2

：《庄子.逍遥游》记载：一尺之椎，日取其半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天截取一半，很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x次，剩余长度y与x的关系是

?.…...

一尺之木日取其半第1次后第2次后第3次后第4次后第x次后1.从前面的两个实例我们抽象得到的两个式子：思考：1、这两个是函数吗？2、如果是，这两个函数有什么特点?底数为正数底数为正数指数都含有x我们是幂的形式.指数函数的定义：形如y=(a0，且a1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量.思考：为何规定a0，且a1?函数的定义域是R.当a0时，ax对有些数会没有意义，如(-2),0等都没有意义；而当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究的必要.记住：在y=中a一定大于零！为何规定a0，且a1?01a为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1。.指数函数的特征：【提示】依据指数函数y＝ax(a>0且a≠1)解析式的结构特征：①底数：大于零且不等于1的常数；②指数：自变量x；③系数：1；④只有一项ax.说明.概念理解例1、指出下面哪个函数是指数函数：是否否是(1)当k=1时，是；(2)当k≠1时，否。思考：.反思：指数函数的解析式y=中，的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如:(a>0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如:因为它可以化为.【例2】函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．.研究函数的一般思路：研究函数的一般方法是：函数的图象函数的性质特殊的函数函数的定义用性质解问题探求新知、深化理解.特殊点

定义域奇偶性单调性值域对称性探求新知、深化理解.例3在同一坐标系中画出下列函数的图象（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）．已知函数的解析式，怎么得到函数的图象，一般用什么方法？列表、描点、连线作图.x…-3-2-10123…y=2x…1/81/41/21248…y=3x…1/271/91/313927…1xyo123-1-2-3.

当a>1时，的大致图像如下图：xy0y=1y=ax(a>1)(0,1).x…-3-2-10123…y=2-x…84211/21/41/8…y=3-x…279311/31/91/27…XOYY=1.y0(0<a<1)xy=1

y=ax(0,1)

当0<a<1时，的大致图像如下图：.图象和性质：

a>10<a<1图象性质1.定义域：2.值域：3.过点，即x=时，y=4.在R上是函数在R上是函数.例6.已知指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点（3，），求f(0)，f(1)，f(-3)的值.解：∵f(x)=ax的图象过点(3，π).答案：A.2．函数y