高中数学同步讲义分册-选修4-1第一

—[学习目标理解平行线等分线段定理的证明过程及性质1提示(1)三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.如图，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG＝ H是 的中点，F是 提示 [预习导引a∥b∥cm，na，b，cA，B，CCAB＝BC在△ABCDABDDE∥BCACEEFF要点一1ADAB∥CDAB＝CD，A1，A2AB的两个三等分点，C1，C2CD的两个三等分点A1C，A2C1，BC2，求证把AD分成四条证明如图②AAMA1CDCAMMDDNBC2ABDNNAB∥CD，A1，A2AB的两个三等分点，点C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2BA1C∥A2C1∥C2BAM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四条线段的长度相等.规律方法解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本条件，找准被一组演练 如图①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则 解析如图②OAB，CD，EFAO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6.答案要点二例2 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F分别在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N.解MEBCP，由题意可得Rt△EPC≌Rt△FAC，又∵CBPNMB的中点规律方法演练 AD∥BC∠ABC＝90°，MCD的中点.证明MME∥BCAB∴∠AEM＝90ABCD中，MCD∴MEAB的垂直平分线要点三例 已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直线l1分别交α，β，γ于l2α，β，γD，E，F证明(1)l1l2(2)l1l2l2GGl3∥l1l3l1l3确定一个平面π1，l3l2确定一个平面在平面π1AP，BQ，CRAP∥BQ∥CR.＝BC同理在平面π2规律方法这是平行线等分线段定理在空间的推广，即：如果一组平行平面在一3ABCD中，AB＝CD，E，F分BC，AD的中点，BA，CDEF的延长线M，N.证明BDFFG∥ABBDG在△ABD中，∵FG∥ABFAD∴FG是△ABD

3.如图所示，l1∥l2∥l3，直线AB与l1，l2，l3相交于A，E，B，直线CD与l1，l2，l3相交于C，E，D，AE＝EB，则有( 解析答案如图D，E，F分别为△ABC三边的中点，则与△DEF全等的 A.1 B.2C.3 D.4解析∵DF是△ABC DF∥BC，则EF∥AB可得∴△ADF≌△FEC.同理可得DE＝CF，DF＝CE，EF＝EF，可得答案下列结论正确的 (1)如图(1)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.(2)如图(2)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.(3)如图(3)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.解析由平行线等分线段定理知：(1)(2)(3)都正确.答案如图所示，ADBC边上的中线，EAD的中点，BE的延长ACF.求证 证明DDG∥BFAC在△BCF中，DBC的中点，DG∥BF，∴GCF在△ADG中，EAD的中点，EF∥DG，∴FAG如图所示，已知BC＝acm，且AD∥EF∥BC，AE＝EO＝OC，则AD等于( A.a B.2a2C.3a D.3a2解析∵EF∥AD，AE＝EO，∴FOD∴EF是△OAD又答案如图所示，在△ABC中，BDAC边上的中线，DE∥ABBC于E，则阴影部分面积为△ABC面积的 4455解析∵DE∥AB，DAC∴EBC

3636∴S△BDE＝1

答案 AB＝BCAB＝BCCE＝2CD由 可得解析∵OB，OG不是一条直线被一组平行线截得的线段，故不正确答案如图所示，在△ABC中，EAB的中点，AH⊥BC⊥BC于F，若 ，则 解析∴EF∥AH，又 答案2

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BCD，MAD的则 ；若PM＝1cm，则 解析AD⊥BC，AB＝ACBD＝CDDN∥CP，∴BN＝NP.

答案2 4AB证明AEBC∵CD是∠ACB的角平分线，AE⊥CD，又在△ABMFAB如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，点E，F分别是AD，AB的中点且AC⊥BC，若AD＝5，EF＝6，则CF的长为( 解析BDE，FAD，AB的中点∴EF綊 ，又又 ∵F是AB的中点 答案

10cm3cm该梯形中的较大的底边等 2解析BD2∵EF∥BCG中 BC答案如图所示，AD∥EG∥FH∥BC，E，F三等分AB，G，H在DC上，AD＝4，BC＝13，则EG＝ 解析由梯形中位线定理知：AD＝4，BC＝13答案 ABCDAB＝BC，EAB的中点.求证：△ECD为等边三角形.证明ACEEFADDC∵AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.又∵EAB∴F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一∴△ABC是等边三角形.∴∠ACB＝60°.又∵EAB边的中点，∴CEECD为等边三角形如图所示 DH＝16，AHBFMBMCG的长解BCPPQ∥DHEHQPQ的中位线 1，BM＝AB，∴BM＝1，∴BM＝4.PQADHE

ABCD按如图(1)MN.如图(2)AEBMN上，AEMNP，Rt△ABEEBADF，得到△AEF，他认为△AEF是一个等边三角解他的观点是正确的.NADCECD的中点，NP∥AD，∴PEA的中点.又∵△ABE二平行线分线比例定[学习目标理解平行线分线比例定理理解平行线分线比例定理的推论

如果b＝d，那么b a 提示

提示DE＝2x，EF＝3x平行线分线比例定三条平行线截两条直线，所得的对应线比cD，E，F，则 证明分别在两条直线上的线比 则证明三角形中的线比要点一平行线分线比例定理的理例 如图已知线段 段AB上找一点使解作法：(1)AAKB1，B2，B3B1B1C∥BB3ABCC即为所求.∵B1C∥BB3，∴AB1 又∵AB3＝3AB1AB1

规律方法可应用平行线分 比例定理来作图由于

CABAKAKAB1＝B1B2＝B2B3，连接B3B.过B1作B1C∥B3B，即得到点C.演练1

解析∵DE∥BC，∴AD＝AE，∴BD＝EC 又 由①②知EC＝BF，

答案要点二平行线分线比例定理及推论的简单应例 EBAF证明法一如图①AAG∥BCDF∵AG∥BC，∴FA＝AG

AG∥BC，得 法二如图②BBM∥ACFD∴FA＝AE BM∥EC，知又∠1＝∠2 规律方法在利用平行线分线比例定理及推论解决问题时，常常在复杂的图形中找出基本图形(有时需添加辅助线，构成基本图形)，借图解题. 比例定理及其推论进行证明演练 如图所示

证明 要点三平行线分线比例定理及推论的综合应例3 如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC边中点，延长AC，DE相交于点F.求证 证明EH∥ABAC ∵△BDCEBC 规律方法通过添加辅助线，构造基本图形，借图寻找合适的等量关系，再结合演练3 如图所示，四边形ABCD为平行四边形，过B的直线分别交AC，AD，CD的延长线于O，F，E.证明 又 由③ 即 由②④得 又由①得 这是学好本节的前提

合比性质：如果b＝d，那么b＝d

等比性质：如果b＝d＝…＝n(b＋d＋…＋n≠0)，那么推论的图形变化如图所示如图所示，AB∥CD，AC，BD25，则AO的长为 解析 ＝7＝7.∴AO＝7，即AO＝7

答案 A.6 B.4 C.3 D.2解析∴B

11＝6答案如图，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且

解析

BE＝2，则

又 答案2证明在△ABC∴AD＝AE.在△ADC ∴AF＝AE，∴AD＝AF，即

解析由平行线等分线段定理的推论，易知A，B，C都正确，D错答案如图所示，AD是△ABC的中线，点E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为( 解析DDG∥ACBE则 ，又

答案

ABCD中，BC∥AD，EDC点，AE交BD于点G，交BC于点F，下列结论

A.1 B.2 C.3 D.4解析∵BC∥AD，∴①EC＝EF②FG＝BG

故④也对.③错答案2，DF＝1，则AB的长 解析 2DF＝1AF＝2，∴AD＝3，又3答案2

DE∥BCDFACAE＝EC＝1BC＝4 解析 × 1＝4×答案3

如图所示，在▱ABCD中，H，EAD，AB延长线上一点，HEDCKACGBCF.证明GH·GK＝GE·GF，即证AD∥BC得

AB∥CD得 ∴GH＝GE －AB为 22

23解析CD∥BN得CM＝CDABCD23

答案

如图所示，AB∥GH∥CD，AB＝2，CD＝3，则GH的长 解析

答案5如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 解析∵EF∥AB

∴EFABFE∴S

，S梯形 ＋3)h＝5

∴SABFE∶SEFCD＝7h∶5 答案5BC＝15cmEF的长解BDEF ∵BC＝15cm，∴GF＝6EG＝6cm.∴EF＝EG＋GF＝12如图所示，BD∶DC＝5∶3，EADBE∶EF的值解DDG∥CABFG，则∵EAD

∴BG＝BG

3 故 ＝EF＋1＝3＋1＝3在△ABCDBCCABAD

如图

如图

若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由证 ∴AE＝AF

BF证 过点D作DG∥CF交AB于点G，如题图(2)所示∴AE＝AF.又

∴AE＝AF3BF.

m＋n

证明如下：如题图(3)DDG∥CFAB∴AE＝AF.又

∴FG＝

m＋n

n

三[学习目标理解相似三角形的定义理解预备定理的本质提示两个直角三角形相似两个等腰直角三角形相似50°的两个等腰三角形相似记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示，例如△ABC与△A′B′C′相似，记理似判1三角形的两个角与另一个三角个三角形相似理三角形的两边和另一个三角形2判3三角形的三条边和另一个三角两个三角形相似(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方外接(内切)外接(内切)外接(内切)外接(内切)外接(内切)外接(内切)要点一例 如图所示，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝a，BC＝b，当a，b之间满足怎样的关系时，△ABC与△CDB解∴当AC＝BC 即a＝b BD＝a∴当AC＝AB 即

BD＝a

时，△ABC与△CDB相似规律方法解决此类问题，重点应放在“对应关系”上，根据“对应关系”进行演练 如图所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，DCB延长线上一点，EBC(1)(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数(1)证 又 (2) 又要点二例 如图所示，矩形ABCD中，AB∶BC＝5∶6，点E在上，点F在CD上，且 证明EC＝x ∴AD＝FD，又 规律方法直角三角形相似的判定方法很多，既可根据一般三角形相似的判定方演练 如图所示，直线EF交AB，AC于点F，E，交证明 又 要点三例 如图所示，在△ABC和△DBE中

(1)若△ABC与△DBE10cm，求△ABC(2)若△ABC与△DBE170cm2，求△DBE的面积解 △ABC的周 △DBE的周 设△ABC5xcm，则△DBE3x5x－3x＝10∴△ABC25cm.

∴

S△ABC＝25ycm2，则S△DBE＝9ycm2，25y＋9y＝170∴△DBE45规律方法在利用相似三角形的性质建立比例式时，一定要注意比的顺序，才能演练 如图所示，在△ABC中解

(2)DF⊥AC

(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件1：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似；如图，在△ABC中，DE∥BCFBC上的一点，AFDE于点G，则与△ADG相似的是( 解析在△ABF中，DG∥BF，则答案 解析Rt△CBA，Rt△CAD，Rt△ABD，Rt△DBERt△ADE相似答案3.(2016·调考)如图所示＝90°，AC＝a，BC＝b.则 (用a，b表示 解析由题意可得△ABC∽△CDB，∴BC＝BD，∴BD＝AC＝a答案4.(2016·中学检测)如图所示，已知点D是△ABC中AB上的一点，DE∥BC且交AC于点E，EF∥AB且交BC于点F，S△ADE＝1，S△EFC＝4BFED的面积.解∴S在△ABC中，PAB 解析AC2＝AP·AB即AC＝AP，∴③也满足相似条件；④中两个对应边的夹角不是∠A，故不相似 答案如图所示，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC 解析因为△ABC与△AFG3∶2AB∶AF＝3∶2，又△ABC△AED2∶1AB∶AE＝2∶1，故△AED与△AFG 1＝3AF 答案梯形DBCE的面积为6cm2，则DE∶BC的值为( 1∶ 解析答案4.(2016·黄冈调考)如图，在▱ABCD则△ADF的面积 解析∴△AEF∽△CDF，且相似比 ＝1，又△AEF的边EF上

高与△ADFDF

答案AD＝3，BC＝7，则BD2＝ 解析而又 答案如图所示，在▱ABCDE，FADCB的延长线上，请解在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，点D为AC上一点 ，AB上取一点E，得到△ADE，若△ADE与△ABC相似，则DE的长为 C.6或 解析当△ADE∽△ACB时，则

12△ADE∽△ABC时，则

答案

解析Rt△ACERt△ADB中，∠A

AD

在Rt△ACE中 82－（4＋2）2＝2答案 2如图所示，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝ 解析∵∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD＝90°，∴△AEB∽△ACD，从而得AB＝AE4＝AE，解得AE＝2，故 AB2－AE2＝44答案4QCD的中点.证明ABCD

∵QCD 在△ADQ和△QCP 如图所示，△ABC为正三角形，D，EAC，BC边上的ABC6DBE证 又∠BDC是△ABD的一个外角，且又 设DC＝x，BE＝y，则EC＝6－y，AD＝6－x.由(1)可得EC＝DC，整理得

y＝1y＝1 2x＝32DC＝3DAC的中点时，BEBE的长是FC(AB>AE).△AEF与△ECF是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，

设BC＝kk值，使得△AEF与△BCFk的值；若不存在，请说明理由解(1)相似.ABCD∵EF⊥EC，A，D，E共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.

又存在.由于由(1)知又∴AB＝CD＝CD＝3k＝ 2k＝3时，DE＝1 四[学习目标已知：如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB提示(1)6

AC 要点一例 如图所示，在梯形ABCD中∠BCD＝60°，AD＝1，AB＝2.ADBCDCBCBCDC上的射影长解(1)DDD1⊥BCD1BD1ADBC上的射影，如图ABD1DADBC∴D1C＝

＝2＝2tan 3DCBC上的射影长为23(3)BBB1⊥DCB1B1CBCDC上的射影，如图所示3∵BC＝BD1＋D1C＝1＋23∴B1C＝BC·cos

＋2

1＝1＋13 313BCDC上的射影长为1＋ 3规律方法(1)射影实质上就是平行投影A1B1如图(1)所示；当线段AB所在直线与直线l不平行且不垂直时，设其在l上的射影为A1B1，则有AB>A1B1，如图(2)所示；当线段AB与直线l垂直时，线段ABlA1，如图(3)所示演练1 D，E，F，G和线段AB，AC，AF，FG在直线BC上的射影.解AD⊥BC，EF⊥BC知：ABCD；BB；CBCC；E，F，GBCE；ABBCDB；ACBCDC；AFBC上的射影是DE，FG在BC上的射影是点E.要点二例 如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，AD＝6，AB＝10，BD＝8CD的长解在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8∴∠BAC＝90°.Rt△BAC中，AD⊥BC规律方法(1)已知三角形是直角三角形，或者有直角、垂线等，这是在直角三角演练 ＝1∶2∶3，CD⊥ABD.BD，CD的长解设∠A＝x，∠B＝2x，∠ACB＝3x，由180又1 ∴AD＝AB－BD＝m－1 CD2＝AD·BD＝3·1＝3m2CD＝4m ∴BD＝1，CD＝

4 4要点三例 上点F在CD上

证明ABCD

Rt△ADFAF2＝AD2＋DF2＝36k2＋4k2＝40k2，同理可得AE2＝50k2，EF2＝10k2.∴△AEF是直角三角形得EF2＝GE·AE.

5＝AE＝52k，∴GE5＝∴4GE＝4又∵AG＝AE－GE＝52k－2k＝4规律方法①判断两线段的数量关系时，可设变量使之能表示线段，②在直角三演练3 如图所示，BD，CE是△ABC的两条高，过点D的＝∠BCF.证明∵∠H＝∠BCE，∠HBG是△BCE与△BHGHG⊥BC.BD⊥ACRt△BDCDGBC又 由①②1.(1)在直角三角形ABC中，斜边AB＝5cm，BC＝2cm，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，且AD＝3.2cm，则DE等于( A.1.24 B.1.26C.1.28 D.1.3解析由已知 答案如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，在图中的 解析图中所有三角形都是直角三角形，由勾股定理，射影定理，可知只需知道答案

则 解析由已知3322答案

a，b(a<b)a，b解如图所示.(1)ABDABDHCACa，b＝3，则MN等于 C.C.

解析∵MN⊥MP，MQ⊥PN，∴MN2＝NQ·PN，又 答案在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若

44

33

AB＝4，则99解析9

答案

，即BD＝16，∴CD＝9如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( 解析ABCCD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB，故选A.答案CDAD＝pBD＝q B.C. B.C.解析由已知可利用射影定理得：CD＝PQ，在Rt△ACD中tanA＝CD＝答案E，则 解析 AB2＋BC2＝2

p由射影定理得

＝32 2Rt△BEC中，cos∠BCE＝CE＝ DE2＝21.∴DE＝ 2答案21BCBE＝6，CE＝2AD的长解∵CD⊥AB，即DE2＝CE·BE＝12，∴DE＝23，∵BD2＝BE·BC＝48，∴BD＝4Rt△ABC 16 44AD＝BD ＝34

等于

解析 ＝AD，又 2Rt△ADCAD＝1AC，则2答案如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝ 解析AB＝5(cm)CDCD⊥AB BC＝BD·ABBD＝AB＝5答案5 解析AD＝2x

∴CD＝6x，∴S△ACD∶S△CBD＝BD＝3 答案3如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC⊥ACF，DE⊥ABE. 证明(1)Rt△ABC

(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理得BD2＝BE·AB.Rt△ADC又在Rt△ABC中，AD⊥BC，即AD4＝BE·AB·CF·AC.由(1) (3)BD＝BE·AB，∴BE＝AB CD＝CF·AC，∴CF＝AC BD2 ①÷②得CF＝AB

∵AB＝BD·BC，∴BD＝BC同理

④代入③得

·AB＝AC3，即如图，在△ABC中，D，FAC，BCAB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1AC.解在△ABCAC∵AB⊥AC，AF⊥BC.FC＝1，根据射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2. 在△BDCDDE⊥BC∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC＝12x又

∴DE＝AC Rt△DEC

1 即

∴x2＋4＝1.整理得 2，即 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB

.

∴

即 ∴AC2＝BD21：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分第三边2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰.平行线分线比例定定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线比例1(或两边的延长线)所得的对应线比例.2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所得的三角形1的逆定理：如果一条直线截三角形两边或两边的延长线所得的对应线1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它们相似2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似3一条直角边对应成比例，那么它们相似.1：相似三角形对应角相等，对应边成比例2：相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比3：相似三角形的面积比等于相似比的平方4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线上的正射影，简称射影勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方题型一1ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥ADE，DE＝2AE，若△CED的面积为1，求四边形ABCE的解CB，DAFCE平分∴△FCD为等腰三角形，EFD的中点

又∴

∴S△FBA＝1 ∴S 规律方法多边形的问题常转化为三角形问题去解决，本题从已知条件出发，构演练1 如图，在△ABC中，AB>AC，在边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证 证明CCM∥ABPD∴BP＝BD，即 题型二例2 c，点P是AB上与A，B不重合的一个动点，连接PC，过点P作PQ∥AC交BC于点Q.33ab22

的最大整数解，试说明△ABC的形状

在(1)AP＝x，S△PCQ＝yyxx的取值范围解(1)a2＋b2－12a－16b＋100＝0，即得解不等式组得

∴c＝10，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形(2)由(1)得 55 55

∴

24

10∴S△PBQ＝24(10－x)2＝6x2－24 5∴S△PCQ＝S△PBC－S△PBQ＝－6x2＋12y＝－6

5 5规律方法对于(1)，判断△ABC的形状，由题意转化为解不等式组.对于(2)，由问题转化为求S△PBQ、S△BPC.演练 边上的高，△ABC和△BDE18222BAC的距离解 又 （2（2∵DE＝2

∴AC＝6设点B到直线AC的距离为h，则 ·h，即

62h，∴h＝3 题型三当点、线的位置关系不确定时常常需分类讨论例3 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个框架的三边长分别是4、5、6，另一个框架的一边长是2，怎样选料可使这两个三角形相似？解(1)2x，y4＝5＝6 2x，y4＝5＝6 2x，y4＝5＝6 综上，另一个三角形的另两边长分别为4和5或8和12或5 规律方法2的三角形三边关系不明确，边长为2的边可以是最长边、中间边或最短边，因此应分三种情况进行讨论.演练3 解析DDE1∥BC，此时∠AE1D＝∠B△ABC∽△AE1DD作∠ADE2＝∠B，此时△ADE2∽△ABC.DDE3∥AB，使∠DE3C＝∠BDBCE4，使∠E4DC＝∠B，都能使截得的三角形与原三角形相似，因此共有4条直线符合要求.答案题型四例 如图，在Rt△ABC中，E为斜边AB上一点＝1，四边形DEFC为正方形，则阴影部分的面积 解析设正方形DEFC的边长为x，则根据△ADE∽△EFBAD＝2x，BF＝1 Rt△ADE中，(2x)2＋x2＝22S阴影＝S△ABC－S正方形

答案

规律方法将几何图形的比例相等关系转化为方程，是解决平面几何问题常用路1.(2014·高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在上且EB＝2AEAC与DE交于点F则△AEF的周长 解析CD∥AE，得于是△CDF的周长△AEF的周 答案2.(2015·高考)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则

解析由题意得OP＝2BC＝2，OA＝2，于是 ×∵∠DCP＝∠B＝∠POA，∴△DCP∽△AOP，∴PD＝PC，∴PD＝2 15＝15，∴×

2 答案3.(2013·陕西高考)如图，AB与CD相交于点E，过点E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝ 解析PE∥BC，∠A＝∠C知，∠A＝∠C＝∠PED，在△PDE和△PEA＝PA·PD＝3×2＝6PE＝答 圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝ 解析∵四边形BCFE内接于圆，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A为共角，∴△AEF∽△ACB，∴EF＝AE.又 答案圆于点B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝ 解析依题意得△PAC∽△PBA，则PA＝AB＝PB， ＝AB＝PB，解得

答案BC证明AB＝AC，所以又因为∠C＝∠E又∠BAE为公共角，可知7.(2015·新课标Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点GAB，ACE，F两点.AG等于⊙OAE＝MN＝23EBCF的面积 AD⊥BC又因为⊙OAB，ACE，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF. 故AD是EF的垂直平分线，EF为⊙OOAD上.连接OE，OM，则OE⊥AE.AG等于⊙OAO＝2OE，因此△ABC和△AEF都是等边三角形AE＝2

＝3OD＝1.AD＝5，AB＝10EBCF的面积为

10

×(2 3 16×

×

在△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4cm，则DB等于 A.2 B.6 C.4 D.8解析如图，∵DE∥BC，∴AE＝AD＝1又∵AD＝4 答案 A.13和 B.14和C.15和 D.16和解析由相似三角形周长之比，中线之比均等于相似比可得周长之比C1＝3 ∵C1＋C2＝35，∴C1＝15，C2＝20答案ABCPQ分别在BCACBP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，则AR∶RP等于 解析Q作QM∥AP交PC于MCM＝CQ＝3又 ＝2BP＝7.