初中数学 抛物线与取值范围综合题（附答案）

【1】如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为。（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。【2】如图，已知射线DE与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒．（1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．①当与射线DE有公共点时，求的取值范围；②当为等腰三角形时，求的值．OOxyEPDABMC【3】已知二次函数y＝x2－x＋c．(1)若点A(－1，a)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；(2)若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(m＞n)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当2eq\r(2)≤OP≤2＋eq\r(2)时，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋EQ\F(3,8)的交点个数，并说明理由．【4】已知：直角梯形OABC的四个顶点是O(0，0)，A(，1)，B(s，t)，C(，0)，抛物线y=x2＋mx－m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．(1)求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC；(2)当抛物线y=x2＋mx－m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围．（第24【1】解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=，设A（a,0）,B(b,0)AB=ba==，解得p=,但p<0,所以p=。所以解析式为：（2）令y=0，解方程得，得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC=,同样可求得BC=，显然AC2+BC2=AB2，得△ABC是直角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=,所以。（3）存在，AC⊥BC，①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组得D（，9）②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把A(，0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组得D()综上，所以存在两点：（,9）或()。【2】解：（1），． （2分）（2）①当的圆心由点向左运动，使点到点并随继续向左运动时，有，即．当点在点左侧时，过点作射线，垂足为，则由，得，则．解得．由，即，解得．当与射线有公共点时，的取值范围为． （5分）②当时，过作轴，垂足为，有．，即．OxyEOxyEPCDBQAMF当时，有，．解得． （9分）当时，有．，即．解得（不合题意，舍去）． （11分）当是等腰三角形时，，或，或，或． （12分）【3】(1)解：法1：由题意得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(n＝2＋c，,2n－1＝2＋c.))……1分解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(n＝1，,c＝－1.))……2分法2：∵抛物线y＝x2－x＋c的对称轴是x＝eq\f(1,2)，且eq\f(1,2)－(－1)＝2－eq\f(1,2)，∴A、B两点关于对称轴对称.∴n＝2n－1……1分∴n＝1，c＝－1.……2分∴有y＝x2－x－1……3分＝(x－eq\f(1,2))2－eq\f(5,4).∴二次函数y＝x2－x－1的最小值是－eq\f(5,4).……4分(2)解：∵点P(m，m)(m＞0)，∴PO＝eq\r(2)m.∴2eq\r(2)≤eq\r(2)m≤eq\r(2)＋2.∴2≤m≤1＋eq\r(2).……5分法1：∵点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，∴m＝m2－m＋c，即c＝－m2＋2m.∵开口向下，且对称轴m＝1，∴当2≤m≤1＋eq\r(2)时，有－1≤c≤0.……6分法2：∵2≤m≤1＋eq\r(2)，∴1≤m－1≤eq\r(2).∴1≤(m－1)2≤2.∵点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，∴m＝m2－m＋c，即1－c＝(m－1)2.∴1≤1－c≤2.∴－1≤c≤0.……6分∵点D、E关于原点成中心对称，法1：∴x2＝－x1，y2＝－y1.∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(y1＝x12－x1＋c，,－y1＝x12＋x1＋c.))∴2y1＝－2x1，y1＝－x1.设直线DE：y＝kx.有－x1＝kx1.由题意，存在x1≠x2.∴存在x1，使x1≠0.……7分∴k＝－1.∴直线DE：y＝－x.……8分法2：设直线DE：y＝kx.则根据题意有kx＝x2－x＋c，即x2－(k＋1)x＋c＝0.∵－1≤c≤0，∴(k＋1)2－4c≥0.∴方程x2－(k＋1)x＋c＝0有实数根.……7分∵x1＋x2＝0，∴k＋1＝0.∴k＝－1.∴直线DE：y＝－x.……8分若eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(y＝－x，,y＝x2－x＋c＋eq\f(3,8).))则有x2＋c＋eq\f(3,8)＝0.即x2＝－c－eq\f(3,8).①当－c－eq\f(3,8)＝0时，即c＝－eq\f(3,8)时，方程x2＝－c－eq\f(3,8)有相同的实数根，即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋eq\f(3,8)有唯一交点.……9分②当－c－eq\f(3,8)＞0时，即c＜－eq\f(3,8)时，即－1≤c＜－eq\f(3,8)时，方程x2＝－c－eq\f(3,8)有两个不同实数根，即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋eq\f(3,8)有两个不同的交点.……10分③当－c－eq\f(3,8)＜0时，即c＞－eq\f(3,8)时，即－eq\f(3,8)＜c≤0时，方程x2＝－c－eq\f(3,8)没有实数根，即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋eq\f(3,8)没有交点.……11分【4】解：ABABC∵∠AOC≠90°，∴∠ABC=90°，故BC⊥OC，BC⊥AB，∴B（，1）．（1分，）即s=，t=1．直角梯形如图所画．（2分）（大致说清理由即可）（2）由题意，y=x2+mx－m与y=1（线段AB）相交，得，（3分）∴1＝x2+mx－m，由(x－1)(x+1+m)=0，得．∵=1<，不合题意，舍去．（4分）∴抛物线y=x2+mx-m与AB边只能相交于（，1），∴≤－m－1≤，∴．①（5分） 又∵顶点P()是直角梯形OABC的内部和其边上的一个动点，∴，即．=2\*GB3②（6分）∵，（或者抛物线y=x2+mx－m顶点的纵坐标最大值是1）∴点P一定在线段AB的下方．（7分）又∵点P在x轴的上方，∴，∴．（*8分）=3\*GB3③（9分）又∵点P在直线y=x的下方，∴，（10分）即（*8分处评分后，此处不重复评分）=4\*GB3④由①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④，得．（12分）说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣1分，个别漏写的酌情处理．5．(2010湖南怀化，26，10分)图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围．图9 图1图9图16．(2010年浙江省绍兴，24，14)如图，设抛物线C1：，C2：，C1与C2的交点为A，B，点A的坐标是，点B的横坐标是－2．(1)求的值及点B的坐标；(2)点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C2顶点Ｍ的直线为，且与x轴交于点N．①若过△DHG的顶点G，点D的坐标为(1，2)，求点N的横坐标；