2023年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答

2023年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题〔此题共10小题，总分值70分，每题7分．要求直接将答案写在横线上〕1．复数．2．直线是圆的一条对称轴，那么实数.3．某班共有30名学生，假设随机抽查两位学生的作业，那么班长或团支书的作业被抽中的概率是〔结果用最简分数表示〕．4．，那么．5．向量a，b满足，那么以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为．6．设数列{an}的前n项和为Sn．假设{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，那么数列{an3}的前n项和等于．7．设函数．假设f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，那么ab的取值范围是．8．设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中，那么．9．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，那么此直角三角形的斜边长是．10．m是正整数，且方程有整数解，那么m所有可能的值是．二、解答题〔本大题共4小题，每题20分，共80分〕11．圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围．12．设．假设时，，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．13．如图，P是内一点．〔1〕假设P是的内心，证明：；〔2〕假设且，证明：P是的内心．AABCP14．是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数．2023年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题答案及点评一、填空题〔此题共10小题，总分值70分，每题7分．要求直接将答案写在横线上〕1．复数．答案：－8根底题，送分题，高考难度2．直线是圆的一条对称轴，那么实数.答案：根底题，送分题，高考难度3．某班共有30名学生，假设随机抽查两位学生的作业，那么班长或团支书的作业被抽中的概率是〔结果用最简分数表示〕．答案：根底题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否那么很容易有错4．，那么．答案：计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度5．向量a，b满足，那么以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为．答案：可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案6．设数列{an}的前n项和为Sn．假设{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，那么数列{an3}的前n项和等于．答案：高考难度级别，根底好的同学可以做出来7．设函数．假设f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，那么ab的取值范围是．答案：(0,2)这是一道高考题8．设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中，那么．答案：6这也是一道高考题9．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，那么此直角三角形的斜边长是．答案：4eq\r(3)还是一道高考题10．m是正整数，且方程有整数解，那么m所有可能的值是．答案：3,14,30这是2023年苏州市一模的第十四题。二、解答题〔本大题共4小题，每题20分，共80分〕11．圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围．解：设公共点〔cosθ，sinθ〕，代入抛物线方程，得因为，所以简单，很简单12．设．假设时，，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且．假设有实根，那么，在区间有即消去c，解出即，这时，且．假设无实根，那么，将代入解得．综上．所以，单调递减故．注重分类讨论13．如图，P是内一点．〔1〕假设P是的内心，证明：；〔2〕假设且，证明：P是的内心．ABCABCP这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有14．是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数．证明：设，其中p，q为互质的正整数，那么．设k为任意的正整数，构造，那么．非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识总结：这张试卷大约90分以上应该可以出线了。一般说来，出线并不算太难，只要平时根底好，不粗心，填空题应该可以做总分值〔笔者错了一个〕，对于没