2012初中数学竞赛辅导学习讲义

00初中数学竞赛辅导学习讲义台ft市广大中学数学组编PAGEPAGE41一、数与代数灵活运用运算律进行下列计算：1、计算下列各题 1 1(3)42.52 (248268 41515(1.25)12(2.5)

4)932② 9 113(105)3451786.677.67(3③ 5 7 5④1010.55.214.6(9.25.25.43.74.61.52、计算下列各题78337.53.74

2.8

325(125)8

15① ②9 9 33 43 1

25

11③ 322 3 2

(3)2(1)110④1－3＋5－7＋9－11＋„＋4997－4999、①123100，④37210 3例题讲练xy

Axy ，且121，求23的值．4x5y解：易见12 A1

1，解得A7， ∴xy

7xy4152 4x5y∴23试一试

723 1194253 231、设a、b都是有理数，规定abaab

b2，求(4的值．2、规定ab ，求(19)(95) 答案：1、266617 2、-3)2S1

1

21

231

2

98的值．2 3 3 4 4 4 99 99 99 99的值．解：将括号内各项反序排列，则有

213

2198

21

99

99 99两式相加，得2S1239899

(199)9949502 试一试：计算：

11

122

22 33

358

5859 1例、计算： 1 1 1

1 1

1 1 112 23 34 45 56 67 78 89 910解：因为

1 11， 1 11， 1 11，12 1 2 23 2 3 34 3 4可见，原式11

111

1

1191 2 2 3 3 4 9 10 10 101这种方法叫分项相消法．一般地

1 1(nn1 n1试一试：①计算：

11

112 6 12 20 30 421②计算： 1

1

1答案①

59301，②13 24 35 19982000 7 0、计算：1222

23

22000S1222

23

220002得2S222232200022001，两式相减，得S220011S

1234102 4 8 16 21011S

12

3

10

，与原式相减得2 2 4 8 16

2111S

11

1

10，2 2 4 8 16 1 1 1 1 1

211设 S1

，2 4 8 16 2101 1 1 1 1

1 1 1则 S

，∴ S

，S/1 ，2 4 8

210

211

2 2 211

2101S12

1210

10211

1

12211

1

6210

∴S2328

1253256772

73

720067②计算：1222

23

答案:①

，②1365．)思考练习1、1－2＋3－4＋„＋19992、 1

1998 1997 1996 1001 1000 3、222

23

24

25

2104、1111

12 6 12 20 725、53 7 231117736 2470 423 94 1416、1 1

1 112 123 123200617、已知

111

11 1 1 12 5 8 11 20 41 110 16401求 1111

1 1

1的值．2 5 8 11 20 41 110 164018、比较1

23

4

2000

与2的大小2 4 8 16 22000b9、三个互不相等的有理数，既可以表示为、ab、a的形式，也可以表示为a、b的形式，求a2008

b2008的值．10、问○中应填入什么数时，才能使199319931993？答案1、1000，2、

1，3、6，8，5、23

211

， 6、11997，2 9 2115 199911111

1 1 1 a

1 1

1 1a7、设

2 5 8 11 20 41 110 1640

则有 11 110 1640 a131164181

23

4

2000

2

2002 1， ∴

23

4

200022 4 8

22000

22000

2 4 8

22000b9解可以判定ab与a中有一个是0 b

1a0ab0，a与

中有一个是ab

b 1，因0、

、b中互不相等，故a、b等于1 和－1，a aa2008b2008(1)2008120082．10x1993x19931993(1)1993x19930时，19931991993199，于1993x19931993，x2(2)当1993x19930时，1993x19931993)(1993x1993)1993，x0，应填的数是2或0．2、绝对值ab1、写出满足下列条件的字母取值范围：abaa

ab0

ab2 11992211992

1 1991119931199211993119913、已知a2，4，且ab0，求2a的值．1991119931199211993119914、设a、b在数轴上的位置如图：化简ababab5、当x取什么作值时，xx16、当2x5x5x2

a 0 b答案：1、aa0时取等号ab0b0．2、0．、16或8． 、ab． 5、x0． 、2x3例题讲练：例、化简：3x2x1x1时，原式(3x(2x5x3当1x1时，原式(3x(2xx23 2x

1时，原式(3x(2x5x2试一试：化简2x12x思考练习一1、若a0，则a等于( ) A、a 、a、a D、a2、数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：abcaba b 0 c3、若x5，y3，且xyyx，求xy的值．4、若a2，b5，且ab0，求ab？5、若x2，求x1x的值．6、已知aa，化简：a1a2答案：1、选B．2、c2a．3、15．、3．、2x．6、1．例、(1)求x1x2的最小值解：x1表示数轴上一点x与1之间的距离，x2表示数轴上一点x与2之间的离求xx2的最小值就是在数轴上找一点x使x到－2与1两点的距离之和最小x可取－213x1x23．x x-2 -1 0 1 0 1 2 3(2)求x1xx的最小值解：本题实际上就是在数轴上找一点x，使得该点到1、2、3的距离之和最小，从图可知，当x与2重合时，距离之和最小，这个最小值是2．试一试：①求x1x2xx的最小值．②求x1x2x3x4x5的最小值． 答案:①4 ②6)想一想，一般地，xx x1 2 3

xn

是n个已知数，则xx1

xx2

xx3

xxn

的最小值是多少？yx1x1xy取得最小值.解：当x1y2x；当1x1y2；当x1时，y2x ∴当1x1时，y取得最小值2，xy思考练习二1、若yxpx15xp15，(0p15，px15)，求y的最小值．2、求yx1x21x的最小值答案：1xp15p0xp15p0，于是yxp15xxp15x30，x15，故y的最小值为y1530152、当x1时，y 3min4、含绝对值的一元一次方程①解方程3x4 ②解方程2x3 ③解方程5x5x5 解：①∵3x14，∴由3x14，得x15 由3x14，得x． ∴x1x是原方程的解3 3②∵2x11，∴2x14，或2x(舍去)5即2x14，得2x14，由2x14，得x ，523 5 由2x14，得x ． ∴x 、x 3 5 2 2 25x1(5x)， 由5x15xx1；由5x1(5x)， 得x1，∴xx1是原方程的解．思考练习三 解下列方程1、2x2 、3x4 3

12x1x3124、5x15x 5、xx1x 6、2x35 1 答案；1、x,x； 2、、x1，x；、x4 、x15 1 2 2 35 5、(用零点分段法法讨论去掉绝对) xxx3，、x ，x 5 2 23、巧解一元一次方程一、解下列方程：12x1、

4x3

x1

x、

x11

x63 2 10 3 2014x3、

81

0 9x115x2

24x215x10.3 3 1.2 6 14 12 7二、用简单的方法解下列方程：1、6022.5%(652x)30% 、3(x1(x2(x1(x3 21342x3

142x2 、171、 2237 三、含字母系数的一次方程1、讨论解关于x的方程：axb的解的情况2、解关于x的方程：2a5x7x2b3、解关于x的方程：(a1)x2x64xm(xn)

1(xm)2 35x的方程2a(x5)3x1无解，试求a的值答案x

2x

、x

4x025 17 35二、、方程两边约去30%，x10； 、方程变为7(x

7(x1)，x52 33、先去大括号同时去中括号和小括号，x7； 、把-7移项后再化简，x11、当a0x

b； 、当a0时，方程为0xb 若b0，方程的解为任a意有理数，若b0，方程无解．3、xab 3、若a0，xa

；若a0，方程无解． 、当m

2x

2m3mn；当m

2时，若n

2时，方程的解为任意有n

3 3m2 3 32时方程无解； 5方程变为(2a3)x110a因方程无解故2a30，3110a0，即a324、二元一次方程组例题讲练

xy7 例1 ax 2y

a和c的值，使方程组：(1)有唯一的解；(2)有无数组解；(3)无解．y7x，代入②整理得(a2)xc14当a≠2c为任何数时，原方程组有唯一的解；当a2c14时，原方程组有无数组解；当a2c≠14时，原方程组有无解．x2yn 5x3y27、已知方程组4xy83x4ym有相同的解，求mn的值． 4xy8 x3 5x 3y

得y

，代入其它两个方程即得nx2y32411， m3x4y33447．2xx x x x 6 1 2 3 4 5x2x1

x x x 123 4 5xxxxx满足以下方程组xx

2x x x 241 2 3 4

1 2

3 4 5xx1 2

x 2x x3 4

48求3x 2x的值4 5

xx1

x x3

2x5

96解：5个方程相加得6(xx1 2

x x3

x)186，∴xx5 1

x x x3 4

31 ⑥由④－⑥得x 17，⑤－⑥得x 65，4 5∴3x 2x 3172651814 5思考练习1、解下列方程组：

xyzu11

3x2yzu1xya

x2y3z4u34

4x3y2zu7(1) yzb (2)

(3) 2x3y4zu

x4y3z2u5zxc 3x4y2zu22 2xy4zu12、已知4x3y6z0x2y7z0x,yz0)2x23y26z2

的值．xx x a1 2 3

x25y

7z23x

，x，

xx满足方程组x

xx3 x x

a2a 其中a

，a，a，a1 2 3 4

3 4 5

1 2 3 4 5x5

x xa5 1 4xx a1 2 5是实常数，且aa1 2

a a3

axx5 1

，x，x3

x的大小顺序．54、放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒子有7个小球，且每四个相邻的盒子里共有30个小球，求最右面的盒子里有多少个小球？5AAAA1AA1A2A3A4A5总钱数

，A，A4

的件数和用钱总数列成表：第一次购买件数134561992元第二次购买件数1579112984元求购买每种教具各一件共需多少元．6427742247)，如果所得的最大数与最小数之差就是原来的那个三位数，试求这个三位数．2xay60 3x 2y 12

有正整数解，求整数a的值．答案1、(2) (x,y,z,u)(2) (x,y,z,u)(1

1,

5 1,6 )4x3y6z 2 x 2y 7z

16 8 16 4得 x3z，y2z，2(3z)23(2z)26z∴原式＝

36z21(3z)25(2z)27z

36z23、解：给定的方程组中的方程按顺序两两相减得xx1

aa，x x1 2 2

a a，xx2 5 3

aa，x x3 4 4

a a4 5∵a a1

a a3

a，∴x5

x，x4

x，x5

x，x1

x，2∴x x x x x3 1 4 2 54、解：设从左到右小盒里的球数为7aa2 3

，a，„a4 1993∵7a a a 30，a a a a 30，∴a 72 3 4 2 3 4 5 5同理得a9

a a13

„＝

4k

＝„＝a ＝719936xyz、x、y、 10CAz zxyz，

x,y,z

B,

，于是(BBy A1Cx由此得Ay9，代入得C1z，可见zC，必有Cx，因而Bz，故x1z且8xx，从而x4，z5，xyz495． 、(a2或7)415n(n0，215个题的人数的统计:nn01，2，3„„12，13，1，15n个题的人数78，1021„„15，6，，144610104037＋8＋10＋21＝467×0＋8×1＋2×10＋3×21＝91121515＋6＋3＋1＝2515×12＋6×13＋3×14＋1×15＝315015x0

,x,x1

, ,x

，则有4x 5x 15x 0x x2x 10x4 5x x4 5

15 x15

6，

1x x0

2 x10

104即4x4

5x5

15x15

6(x4

x x )5 150x x0

10x10

4(x0

x x1

) 两式相减得(11x11

12x12

15x15

)(x1

2x2

3x3

)＝6(x4

x x5

)4(x0

x x )1 10＝6(x x11

x15

)4(x0

xx1

x)2(x x3 4 5

x )10＝4(x11

x15

)4(x0

xx1

x)2(x3

x )15＝4(x11

x15

)6(x0

xx1

x)2(x3

x )15＝4x11

4(x12

x15

)6(x0

xx1

x)2(x3

x )15＝4x11

4256462(x1

x15

) 又0x0

x2x1

3x3

91，12x12

13x13

14x14

15x15

315，故11x11

315914x11

100276215x ，1 i15x1

2003.5x11

（x ＞0， 当x11

0时，统计的总人数为最少，最少200人．5、应用问题例题讲练例160立方米，按每立方米0.8元60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费。已知某用户4每立方米0.88元。那么4月份该用户应交煤气费多少元.0.88＞0.8,所以这用户460，设他用了x60×0.8＋1.2(x－60)＝0.88x,15×0.88＝66例2某场演出的票价由2元到100元多种，某团体需购买票价为6元和10元的票共1401062最少？最少需要多少钱？解：设购买6元票为x张，则10元票为（140－x）张，140x2x，x462，要化钱最少，6元的票要多买，最多只能买46张，3∴所需的钱数为46×6＋94×10＝1216.例3某种商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过ddp解：设该商品的成本价为a,则标价为a(1+p%),在此基础上降价后的价格为100d%).于是d%)a,d100100pp思考练习1、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不给予折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500500500500168423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款多少？2、甲、乙两人在环形跑道上从一点同时起跑，他们的速度分别是每秒3米和每秒5米，若同向出发，第三次相遇在什么地方？310426104一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了．4、某班参加一次智力竟赛，共3012023题为25分，竟赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全对的有一人，答对其中两题的有151229132523206.4%，使得利润率增加了8这种商品原来的利润是多少?6、甲是乙现在年龄时，乙10岁，乙是甲现在年龄时，甲25岁，求甲比乙大多少岁？7千克A千克B3千克BCA千克B千克CA21.210441.2A116C8410答案1、因168小于200×0.9＝180，所以168元是按照没有经过打折的价格付款；423小于500×0.9＝450，所以这是经过九折后的价格。合起来是168＋423÷0.9＝638＞500，按照③可得应付款为500×0.9＋138×0.8＝560.4（元）2x周，则乙多跑了三周，即乙跑了(x)x

x

1， x4 ，13 5 21 1 1 1 1x37 ，由4 4或7 7，可知第三次相遇在距起跑点半周的地方．2 2 2 2 23、设第一辆出租汽车驶出直至中断前最后一辆出租汽车回场的这段时间为x分钟，则驶出x x2的出租汽车的辆数为1，而回场的出租汽车的辆数为 1，所以停车场里出租汽车减少4 6x x 的辆数为 9 解得x104这表示在104分钟时有一辆出租汽车回4 6 场，又有一辆出租汽车驶出．此时停车场就只剩下刚刚驶回的一辆出租汽车．再经过4分钟，这一辆驶出后，停车场就没有出租汽车了．即当第一辆出租汽车驶出后108分钟，停车场就没有出租汽车了．4、设x 、xa b

x xa bx、x分别表示答对第1，2，3题的人数，则 xxc b cx xx

2920 解得25c ax 17,xa

xc

8，答对其中1个题的人数为37－1×3－2×15＝4. 全班人数1＋4＋15＝20，故平均成绩为17208)2542 .205、设原进价为x元,售价为y元,

yx100%8%

y93.6x100% 解得x 93.6%xy1.17x，故这种商品原来的利润率为1.17xx100%17%.x6、设甲的年龄为x,乙的年龄为y,甲与乙的年龄差而k,则xyk,当甲取y时,有y10kx时,有25xk,解得k5.7、设卖出三种搭配分别为x、y、z套，则这天ABC水果销售额为22x3y2x)元，124x8y6z)元，0yz)元， 22x3y2z)116则

2x3y2z58即8y6z)10(yz)441.2116 4.9y4.3z81.3得yz15,所以共卖出C水果15套，则C水果的销售额为1510150元．8、设开始抽水前管管涌已经涌出的水量为am3,管涌每分涌出的水量为bm3,又设每台a160ca2 抽水机每分可抽水cm3(c a 4 16c

解得

3 至少需要抽水机的台2 b c 3160 203a3数为

c 3

6.10c 10c6、不等式的应用例题讲练11067899.095108.8环，那么，他在第100.1

S (9.08.48.19.3) S解设前5次射击总环数为S,则5 ＞9 5

.S＞43.5，由于每次5射击所得的环数都精确到0.15S43.495环数最多为43.4+(9.0+8.4+8.1+9.3)=78.10次射击最少8.×1＋0.－78.＝9.9例2甲、乙两人到商场购买商品，已知两人购买商品的件数相同，每件商品的单价只有8元和9元两种，若两人购买商品一共用了172元求其中单价为9元的商品有几件？解：设每人都购买了n件商品，其中单价为8元的有x件，单价为9元的有y件，则 xy2n x18n172 1720 解得 ∵xy0∴8x9y

y17216n

17216n0解得95

n10

y172161012，故单价为9129 4思考练习1、用1000元购3元一张和5元一张的邮票若干,问有几种选购方法?2、一批学生划船，若乘大船，除一船坐6人外，其余每船坐17人，若乘小船，则除一船坐2人外，其余每船坐10人，如果学生人数超过100而不到200人，求学生的人数.311,810环,100,8910?答案y11、设3元一张和5元一张的邮票分别为x,y张,则3x5y1000,x3332y ，3y1设k 3

, y1, x3332(3kk 3355k , 03355k335 ,1k67,可见有67种选购方法.2xy只，则17(x610y2，即17x10y3，y17x3100＜17(x6y26xy≤1020，易见，17x－3要被10整除，x只能是9，故学生人数是142.．3、设射手命中8 环x次、9 环y次、10 环z次, 则8x9y10z100,①yz＝8x8y8z≤8x9y10z12.5, xyz12,②8 8y2z4,yz1,x9.7、分式计算技巧方法要领拆项合并法；倒数法；代换法.例题讲解2abc 2bca 2cba例1计算： + + .a2abacbc b2abbcac c2acbcab(ab)(ac) (bc)(ba) (cb)(ca)

(ab)(ac)

(ba)(b

+ (cb)(ca)1 1 1 1 1 1 = + + + + a c a b b c b a c b c a2

x2x3x4x5x1 x2 x3 x41

1 1

1 1

1 1 1 解：原= x1 x2 x3 x4= 1

1 1

1010x.x1 x2 x3 x4 (x1)(x2)(x3)(x4)x例3若

7，求 x

的值.x2x1 x4x21x2x1 1 1 8解法一（倒数法：由条件知x0， ， 即x ，x4x21 1

x 7 12 15

x 7x2 49 x

1x

1 , ＝ .x2 x

x 49

x4x21 15解法二：

x2 1

1 49.x4x2

1 15 15 x2 1 x2 49思考练习21、计算： 2

x5 3x1 .x21 x

2x3 x

2x322、计算： 8 6 .2x24x3 x22x15 x24x5 1 1 2 4 1 x 3、计算： + + + . 、已知x 3，求 的.1x 1x 1x2 1x4 x x4x215x

x10x4

1 1 1 2x 3xy 2 的值. 6、已知 1 1 1 2x 3xy 2x4 x y x2xyya25b22c27、已知a5c0，2a4b7c0，abc0，求 的值.x8、若 x

y 6x15y 4x25xy6y2 ,求

的值

2b2

23y 2x5y x x22xy3y2答案提示1、原式 4x

.2、原式

1 1 1

1 1 1

0.x29 x3 x1 x3 x5 x1 x51 2 4 4 4 83、原= + + = + = .1x2 1x2 1x4 1x4 1x4 1x85x

x10

x2x

∴x 1，两边平方得x4 7.1 x x1 161

3yx3xy2x3xy2y＝3.x y x2xyy 51 3 a b c7、由条件得ac,bc，即 ，设ak,b3k,c2k，2 2 1 3 2代入原式，解得

a25b22c2 38.22b22 58、二次根式的化简求值例题讲解3 2例1 已知：3 2

,y

2y x2323，求 的值.3233x(3

3 23 2

x2 y2 2)2所以xy10,xy 2)2 2)23y x x3 2)23 x3y3(xy)(xy)23xy970.x2 y2

(xy)2151532 5 75732 5 75735

53521.3521315315 35 215

2

( 5)

7)5( 3 5) 7( 35( 3 5) 7( 3 5)5 73 57

, ∴原式 2 .37 337 373思考练习14314311431431

2 1 357101 35710 14 15 213 23 2

1 ,y

x2y2的值.3 253 252 63 83 53 5146 5143 53 5146 5146 5xx2x xy3yx xyy7 3 56x＞0y＞0，且7 3 5

y)3 y(

5 y)，求

的值.7 5 37、设x7 5 3

，xy

x4x2y2y4的值.518、已知x ，求x32

3x

3x2的值.51 x3x19、已知x ，求 的值.2 x52352 610、a,b,c,为有理且等式ab c 成立，求2a999b2352 6答案提示(143)(14(143)(143)(143)(143)1 3

1 3 1 3

3) 3)

2.1 3 1 3 3)33 8

2,y

，∴x2y2(xy)22xy(2 3)2210.3252 6(33252 6(3 5)25

＝ ；②

＝ 1；232146 514232146 5146 5(3 5)2

2 .3 53 53 53 5xx

M

10，M＝10.6、由条件得(

5 y)(

3 y)0，得

5x25.原式＝xyyxy

＝2.2xyxyx3yx1y53357、由条件两边平方得x2y22xy7 ，x22xyxyx3yx1y53355两式相加减得x2y235

3 3，xy2 2 .5310、a0,bc1，原式＝2000.539、构造一元二次方程求值例题讲练a例1 若ab1,且有5a290及9b250求 的值.b12 1解:由9b250,b0，得2001 90,而5a290，b b1 1 1 9且a 所以a,都是方程5x22001x90的根 故a .b b b 5例2 已知x,y是正整数并且xyxyx2yxy2120,求x2y2的值.解:xyaxyb(a,b),由题设得abab120，因此，a、b是方程t223t1200的两个正整数根，解这个方程,得t8,t15,a＜b,得a8,b15x2y2(xy)22xya234.思考练习1、如果a,b是质数，且a2

13am0,b

b m0,求 的值b a b2、设实数s、t分别满足19sst4s1求 的.t

99s10, tab

99t190，并且st1,3、设a＜b＜0, a2b2

4ab,求 的值.ab4、(01竞赛若x2xyyy2xyx28,则xy的值 5（04竞赛）已知实数ab,且满足a

3ab3b2,baab则b baab

值为( ) (A)23 (B)－23 (C)－2 (D)－136（04竞赛如果X和Y是非零实,使得xy和xyx30,那么xy( )(A)3 (B)

1131321313

4137（01竞赛）已知实数a,b满足a2abb2taba2b2t的取值范围．138（01联赛）已知x,y是正整,并且xyxyx2yxy2120,则x2y2= 9 39（03联赛）设m是整数，且方程3x

mx20的两根都大于而小于 ，求m5 710（04竞赛）x,yzxyzxyyzzx3,Z的最大值．答案提示b a1、若ab,则 =2；若ab,易见，a,b是方程x213xm0的两个不相等a b的根，ab13,ab是质数，ab13为奇数，∴ab中必为一奇一偶，∴ab中必有一b a个为2，而另一个为11，故

a2b2

125.a b ab 2212 1 12、第一个等式可化为 190,又ts s

99t190， t,s1 1∴和t是一元二次方程x299x190的两个不相同的实数根，于是有， t99，s s1t19st199s,t19s,st4s1

99s4s

5s t 19s3a2 a a33、解：由a2b2

4ab，得 10，解得 2

（舍去）b b ba2

ab3，所以 3

a1331 33331 33b ab a1b另解：由a2b24abab

6ab，ab

2ab，因为ab06abab6ab

，ab

，故ab2ab6ab2ab 32ab6ab2ab 3 4、解:因为x2xyy14,y2xyx28,两式相加,得(xy)2(xy42,xy,xy7xy65abx的方程(x1)23(x30x25x10，所以ab5,ab1，故a,b均为负数，bab ba

b

ab

a2b2ab

(ab)22abababab

23aba b ababy3x代入xyx30x3x23x0（1当x0x3

x

3x0，x

x30x＜0x3

x

3x0x

x3x0得1 13 1 13 1 13 7 13x ，舍去正根，得x ，y3x3 ，2 2 2 213故xy4 ．13(ab)2ab17、:一方,由题设得 消去ab,得t32(ab)2，因为(ab)2t3ab(ab)2(ab)23ab1

0,故t30,t3．另一方又由题设得 消去tab(ab)2

,得3t12(ab)2，因1 1为2(ab)20,故10,t,于是3t.3 38解: xya,xyb(a,b均为正整由题设得abab120因,ab是一元二方程t21200的两个正整数根解这个方程得t8,t15, 因为a＜b,得a8,b15故x2y2(xy)22xya234． 9 93

9233

m20，①

3233

m20，②由①得m4

5 5 7 713 8，由②得m 3 ，而m为整数，故m4．45 2110xy5zxy3z(xy)3z(5z)z25z3xy是关于t的方程t2(5z)tz25z30的两个实数根，∵(5z)24(z25z0，13 1 13即3z2

10z130，(3z13)(z0，∴z ，当xy时，z ，故3 3 313Z的最大值是z 310、判别式与韦达定理例题讲练例1 设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x22(m2)xm230有两个不相等的实数根x、x .1 2mx2 mx2（1）若x2x26,求m的值2）求 1 2 的最大值1 2 1x1

1x24(m2)2

4(m2

4(m1＞0，解得m＜1，又－1m＜1，x1

x2

(x1

x)22xx2 1

2m

10m10＝6，解得mmx2

5 51717, 由m＜1，所以m ,1717 2 mx2 mx2x)x2x) mx2

2xx(x

x)

1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 1 2 1x

1x2

x1

x2

) xx1 2

(x1

x)12m(2m210m10)(m23)(2m4)＝ (m2(2m4)12m(m1)(m2 32 5 2(m2＝m ,m(m1) 2 2mx2 mx2因为－1≤m＜1，所以当m1时， 1 2 有最大值，最大值为10.1x1

1x2思考练习1、设x, x1 2

xx

axa2的两个实数根，（x1

2x2

)(x2

2x1

)的最大值.2xx2

x

x30x1

4x22

19.3x2px10(p＞0)1p=？4、a0的实数，已知存在惟一的实数k,x的方程x2(k2ak)x1999k2ak0两个根均为质数，求a.5aba＞b,3x23(ab)x4ab0满足关系式（（（() 试求所有的整数点对（a,b）6、已知

ab8

，求方程bx2

cxa0的根.abc答案提示

8 2c481、解：由a24(a2)(a2)24＞0axx1 2

a，xx a2，（x1 2

2x2

)(x2

2x1

)2x21

2x2

5xx1

2(x1

x)29xx2 1 2 92

9 642a2(a)a ，当a 时

2x

)(x

2x

)取最大值 . 4

4 1 2 2 1 82x1

x30, x1 2

x 30,即x2 1

3x,x1 2

3x2

，所以x34x1 2

19x1

(3x1

)4(3x2

)193x1

x1

4x 723x1

(3x1

)4x2

74(x1

x)4，∵xx2 1

1,∴x1

4x2525

19＝0p p24p243、因为xp p24p24

1,解得p .2 1 2 pqk2ak4、设方程的两个质数根为p、q，则 消去a、k，得pq1999k2akpqpq199,所以(p)(q)20002453pq均不能为数，从而

p1 q1和 均为偶数，从而又

p1q1均为整数，且

p1q153,不妨2 2 4 4 4 4p1 p1 q1 p1设p≤q则 ＝1或若 ＝则 ＝53得p,q9 ,均为质数若4 4 2 4＝5

q1 ＝2

p19q99pq499k2ak5020,k的方程有惟一的实数根，所以a245020,得502a2 .50245、因为(ab),ab,由条件得)21,前式代入后式得3ab)24ab,即(ab)21,因为a＞ba－b＝1Δ03ab)2≥16ab,从而得(ab)2≤4,ab≤2,（ab或（0，－1）6、易见a,b是关于t 的方程t

c

8 2c480的两个实数根, 由2ab16 a42644(c2

8 2c4(c4 2)2≥0,得c4

，从而

解得b 4解方程4x

4 2x40,x1

2 6 , x2 2

2 6 .211、二次方程根的讨论例题讲练例1 关于x的方程(a1)x

2xa10的根都是整数，问符合条件的整数有几个？解：当a1时，x1符合条件；当a1x1是方程的一个整数根，而另一根为x

1,x是整数，所1a以1a,得a＝－1，0，2，35个。例2 已知方程a2x整数根，求a.

8a)x2a

13a150(a是非负整数)至少有一个解：显然a≠0，解方程得x

2a3

23,

a5

151 a a 2 a a5要使两根中至少有一个是整数，a的值应为1，3，或5，555例3 已知m、n是有理数，并且方程x55

mxn0

2，求mn解：因为m、n是有理数，方程有一根是于是－m=－4，n1,所以mn＝3.

2

2，思考练习1、求所有正实数ax2ax4a0.2、试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2(r2)xr10. x 2 x 3已知关于x的方程(a21)x1 (2a7)x110有实数,(1)求 x围；(2)若原方程的两个实数根为x,x 且 11 2 x

x 3 2 ，求a.1 x1

1 114x二次方程(k26k8)x2(2k26k4)xk24k的值.答案提示1xx2

,且xx1 a

,则xx1

a＞0，xx1 2

a4a＞0即有 x2

a,4ax

xa, 4ax

x ,所以4

8,

4,

可取5，6，7，8，依1 2 x2

1 2 1 252

1 1 1次得a

1 25,

20;

12;

x 81 x4 54 21

2 2 3 4 2故a的取值有三个：25，18，16.2解:若r0,则方程为2x10, x1不是整,若r0,设方程的两整数根为x,2r2 r1x(x≤x),则xx , xx ，于是2x

(x

1x)2 1 2 1 2 r

1 2 r

1 2 1 22r1

r

34x

2(x

x)17

7,

是整数,且r r 1 2 1 2

1 2 1 22x

11 2x

17

1 x

3x≤

，则 1

； 1

；解得 1

；11 2 2x 172

2x 112

x 42

x 02r1x

或0, r1或r1.r 1 2 3x3、解:（1）令x1t(t,则原方程化为 (a21)t2(2a7)t10x 1 x 1当a210,即a1时,方程为9t10或10 即x1

或 9 x1 5x1x18 4

故当a1时,原方程有实数根,当a1时, 2

53

2a7

4a21≥0,得a≥ ；当t1,有a228

1

2a

10解得2a122

，而12

≥53,所以a12 .222822综上所述，所以a≥x

且a15328532x2

时,原方程有实数根.（2）易见t

1 ,

2 是方程(a21)t22a7)t10的两根，1 x1 1

x 122a7 3 8于是有 ，即3a222a800，解得a 10,a a21 11

1 2 3由（1）知a

53且a12

，而a

8＜

53，所以a

，故a10为所求.2828 2 3 28 3284(k4)(k2)x22k26k4)xk2)(k2)0，4)xk2)xk2)0 因为(k4)(k2)0所以k2 2 k2 4 2 2x 1 ; x 1 ，得k4 , k2 1 k4 k4 2

k2 k2 x1

1 x 12(x x1

，消去kxx1 2

3x1

20，x(x1 2

)2xx1 2

都是整数，x

x 1 x 2

x

x 1

x 2故 1 1 1 1 1 1 ；x 31 x 32 210

x 32

x 2

x 52

x 2k6,3, .312、点坐标与函数例题讲练例1 在直角坐标系xOy中，x轴上的动点（x）到定点（（1）的距离分别为MP和MQ，那么，当MP＋MQ取最小值时，求点M的横坐标x.（关于x轴的对称点Q/-PQ/的方程为ykxb,将55Q/（2-k,b5,所以直线PQ/的方程为y2x5, y0 5,0由 得M点的坐标为 .y2x5

2 例2 一个一次函数的图象与直线y5x95平行，与x轴、y轴的交点分别为A,B，并4 45 （2，则在线段AB上（包括端点、5 解：设这个一次函数为yxb,因为直线过（2，所以b ,可求得A4 495y5(x19)x194.x0x≤4 419，所以取x＝，71，1，19时，y是整数．因此在线段AB上（包括端点AB，横、纵坐标都是整数的点有5个.思考练习ab1、若abc≠0，且

bc

c

p,则直线ypxp一定通过（ ）c a b（A）第一，二象限（B）第二，三象限（C）第三，四象限（D）第一，四象限12、在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，A、C分别在横轴和纵轴上，点B1的坐标为156，直线yxb恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，求b.331OABC、Bx轴的夹角为300，求B点的坐标.14（03竞赛）若函数ykx（k＞0）与函数y 的图象相交于A、C两点垂直xx轴于B，ΔABC的面积为（ ） (A)1 (B)2 (C) k (D) k2答案提示1 1 1 1、由abpcbcpacapb,三式相加得2(abc)p(abc，所以p2,或abc0p2y2x2abc0p1,yx11 1 1 2直线yx与矩形的边BA交于（15则B1所以当b时直线yx 3 2 3 2过点（01）和（15512 2

，它恰好将矩形OABC.3分别过A作x的垂线垂足为D作AF⊥BE于易知AFB≌RtΔADO，所以FBOD, FAEDDA,在RtΔADO中，OA1, AOD300,所以1 3 31FAEDDA

, FBODOAcos300 ,OEODED 2 2 2331 1 3133,EBEFFBDAFB

,故B点的坐标是 ，22 2 213、二次函数（1）例题讲练例1 一条抛物线yax2bxc的顶点为(4,-11),且与X轴的两个交点的横坐标为一一负,则a,b,c中为正数的( )(A)只有a (B)只有b (C)只有c (D)只有a和b(4,-11),与X轴有两个交点，知a＞0，设抛物线与Xxx1 2

，则xx1

c＜0，所以c＜0，a又由对称轴x4，得

b＞0，知b＜0，可见只有a＞0. y-112a-11例2 已知二次函数yax2bxc的图像如图所,并设Mabcabc2ab2a,则( ) (A)M＞0，(B)(C)(D)不能确.解:由图像得a＞0, 0＜

b＜1,∴b＜0, 2ab＞0, 2ab＞0,2a当x1时, yabc＜0; 当x1时, yabc＞0,∴M= abcabc2ab2ab)2(abc＜0.选(C)思考练习1、已知aby(xc)(xcd2xa＜b，求accb的.2、一条抛物线yax2bxc的顶点为(4,－11)，且与X轴的两个交点的横坐标为一正一负,则a、b、c中为正数的( )只有a (B)只有b (C)只有c (D)只有a和b答案提示1xcy2,即点（c2）x轴下方，又因为抛物线y(xc)(xcd)2开口向上，由图像知介于a, b之间，即a＜c＜b所以accb(ac)(cb)ba.2(4,-11),与X轴有两个交点，知a＞0，设抛物线与X轴的两个交x

，则xx

c＜0，所以c＜0x4，得

b＞0，知b＜0，1 2可见只有a＞0

1 2 a 2a14、二次函数（2）例题讲练例1 设P是实数,二次函数yx22pxp的图像与x有两个不同的交点A(x1

,0),B(x2

,0（）2px1

x2

3p＞（）若B两点之间的距离不超过2p3,求p的最大值.解：(1)抛物线yx22pxp与x有两个不同的交点A(x,0),B(x,0)，1 22p)24(p)4p24p＞0xx1 2

2p, xx1 2

p,故2px1

x2

3p2px1

(2px2

p)3p2p(x1

x)4p4p24p＞0；2(2)∵ABx2

x (x(xx)24xx1 2 1 24p24p4p24p∴ ≤2p即4p24p4p212p4p24p9 9p ＝16p的最大值为16.

9，又当16例2 证明：(1)若x取任意整数时，二次函数yax2bxc总取整数值，那么2a、ab、c都是整数. (2)写出上述命题的逆命,并判断真假,且证明你的结论.（1）当x0时，y0

c为整数；当x1时，y1

abc为整数；当x1时,y abcab＝y

y, 2ay y0 1

2y0

都是整数，故2a、ab、c都是整数.2aabcxyax2

bxc的值总是整数。这是真命题.证明如下:yax2bxcax2axaxbxc2a1x(x(ab)xc2xx(x1x(x2aab、c都是整数，2xyax2bxc.思考练习1y2x3yx2相交于ABΔOAB.2yx2k1)xk1x轴的交点为B，顶点为CΔABC的面积的最小值3（03竞赛）yax2bxcx轴交于ABy轴交于点CΔABC是直角三角形，则ac 4yx

(2a1)x2a

5的图像与x轴只有一个公共点，4（1）求a）求a

323a6的值5、抛物线yx2ax2b和yx22bxa都与x轴有公共交点，若a,b是正数，求a2b2的最小值答案提示1、直线y2x3与抛物线yx2的交点分别为1（－）分别作A⊥x轴于E，BF⊥x轴于于则S S S S 6.梯AEFB AEO BFO2由(k)2(k)(k)24＞0x轴总有两个交点（x，10（x2

0，则x x1

k1，xx1 2

k1，故ABx1k22kk22k5

x(x (x x)24xx1 2 1 2 ，配方得顶点C的纵坐标为 ，1818(k22k5)3∴SABC

k121

2k5 ，k22k54k22k5(k1)244k22k54

1 43ABC1 43

1.3、2、解；设A(x1

,0)，B(x2

,0)ABC是直角三角形可知xxca1 2ca

必引号，故xx1

c0a

2AOBO，即c2x x 1 2

ac1ac1． 5

1 54（1）由(2a1)22a0,即a2a10,得a . 4 2（2）由上可知a2

a1,反复用此式可得a

(a

a

2a12，„，1 1 a18(987a610)(a2584a1597，又a6 1 1 a6 2)(a8a5∵a

a10， ∴64a

64a651， 即(8a)1，∴a68a13， ∴a18323a62584a1597323(8a57965a2,

4a0,则a

64b

64a，∴a4,∴b

a4，a

b2；当且仅当a4,b2yx24x4x轴有公共点，故a2

b220.15、数的大小比较基本原理求差法：若A－B＞0，则A＞B；若A－B＝0，则A＝B；若A－B＜0，则A＜B.例题讲解例1 设、、c的平均数为M,、b的平均数为N，N、C的平均数为P,若abc. 讨论M与P的大小关系.abc ab2c ab2c解：MP （abc）3 4 12ab∴

cc

0， MP0,MP.12 12例2 已知a,b,c,d是四个不相等的正数，其中a最大，d最小，且满足条件ac，试b d比较ad与bc的大小关系.a解：设 a

k，则abkcdkad最小，且a,bcd都为正数，b d∴k＞1，b＞d，(ad)(bc)bkdbdk(bd)(k＞0，∴ad＞bc.思考练习1、已知ab1m

1 ，n

a

，试讨论m、n11a 1b 1a 1b12、已知a,,c都是实数，并且a＞b＞c，给出四个式子“①ab＞bc；②ab＞bc；③ab＞bc；④a＞c c

.试判断哪个是正确的.3、a355b444c533，比较a,bc4、若ab是正数且满足12345(111b,比较ab.25、已知a2

1，b2

，c

2、c.266126660ab＜1，且ab1，比较aba2

b2，

的大小答案提示1mn1

1b

2

0， ∴mn.1a 1b b)2、∵(ab(bc)ac＞0abbc.3、a(35)11b(44)1125611c(53)1112511，∴c＜a＜b4a0,b0，由12345(111b,得ab

24ab＞0，ab62336233232 222625、∵3262

, ∴ab

1

1 ＞

1 ＝( 21)2( 21)22

＝0又ca

1

ab＞0, ∴b＜a＜c.6ab(ab)2a1

b22aba

b22(a2b2)>(ab)21，∴a

b22；又∵0aba2ab，而1ab1，∴bb(ab)abb2＞a2b2， ∴a＜2＜a2b2＜b16、绝对值1例题讲解1ab3 2ba 3例1 ab3 2ba 33解：因为＜0,a0,所以b0从而ab＜0,ba＞032进而有ab32

＜0, ba

＞0，故，1原式＝

1 3 3.(a(ab3 2)(ba 3)3 2 32例2 已知1a1，求代数式1a值.a a1解：由

1a,知a,1,a 全是正,所以5a a51a2

1a24

1aa

a

故