2016年全国高考数学试题-江苏卷

2016年江苏数学高考试题数学Ⅰ试题参照公式圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.V圆锥1h为高.圆锥的体积公式：Sh，其中S是圆锥的底面积，3一、填空题：本大题共14个小题,每题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应地址上。1.已知会集A{1,2,3,6},B{x|2x3},则AB=________▲________.2.复数z(12i)(3i),其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.3.xOy中，双曲线x2y21的焦距是________▲________.在平面直角坐标系734.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.5.函数y=3-2x-x2的定义域是▲.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后扔掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.nn122-59的值是▲.=8.已知{a}是等差数列，S是其前n项和.若a+a3，S=10，则a9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是▲.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2y21(a＞b＞0)ba2b2的右焦点，直线y21与椭圆交于B，C两点，且BFC90,▲.则该椭圆的离心率是(第10题)xa,1x0,11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1)上，f(x)2x1,x,05其中aR.若f(5)f(9)22

，则f（5a）的值是▲.x2y4012.已知实数x，y满足2xy203xy30

22的取值范围是▲.，则x+y13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三均分点，BCCA4，BFCF1，则BECE的值是▲.14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是▲.二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡拟定地域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在△ABC中，AC=64π54（1）求AB的长；2（2）求cos(A-π)的值.616.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且BDAF，ACAB.111111求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；2）平面B1DE⊥平面A1C1F.17.（本小题满分14分）现需要设计一个库房，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥PABCD，下1111部分的形状是正四棱柱ABCDABCD(以下列图)，并要求正四棱柱的高OO是正四棱11111锥的高PO1的四倍.(1)若AB6m,PO12m,则库房的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时，库房的容积最大？3（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2y212x14y600及其上一点A(2，4)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；设平行于OA的直线l与圆M订交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；(3)设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得TATPTQ,,求实数t的取值范围。（本小题满分16分）已知函数f(x)axbx(a0,b0,a1,b1).（1）1.设a=2,b=24①求方程f(x)=2的根;②若对任意xR,不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0a1,b1，函数gxfx2有且只有1个零点，求ab的值.20.（本小题满分16分）记U1,2,100.对数列annN*和U的子集T，若T,定义ST0;若Tt1,t2,tk，定义STat1at2+atk.比方：T=1,3,66时，STa1a3+a66.现设annN*是公比为3的等比数列，且当T=2,4时，ST=30.求数列an的通项公式；(2)对任意正整数k1k100，若T，求证：Sa；1,2,kTk1（3）设CU,DU,SCSD,求证：SCSCD2SD.数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题地域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步．．骤．A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.5B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）12111已知矩阵矩阵B的逆矩阵B2，求矩阵AB.A,=0202C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）x11t在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为2（t为参数），椭y3t2圆C的参数方程为xcos,（为参数）.设直线l与椭圆C订交于A，B两点，y2sin求线段AB的长.aaD.设a＞0，|x-1|＜，|y-2|＜，求证：|2x+y-4|＜a.33【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定地域内作答．解答．．．．．．．．．．．．时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).6（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；②求p的取值范围.23.（本小题满分10分）1）求7C36–4C74的值；2）设m，nN*，n≥m，求证：m+1）Cmm+（m+2）Cmm+1+（m+3）Cmm+2++nCmn–1+（n+1）Cmn=（m+1）Cmn+2+2.7参照答案1,22.52103,16.957..68.20.9.7.10.

63211.5[4,13]5713.814.8.15.解（1）因为cosB4,0B,所以sinB1cos2B1(4)23,555ACABACsinC62，所以AB252.由正弦定理知sinBsinCsinB35（2）在三角形ABC中ABC，所以A(BC).于是cosAcos(BC)cos(B)cosBcos4sinBsin,44又cosB4,sinB3,，故cosA4232255525210因为0A，所以sinA1cos2A7210所以cos(A)cosAcossinAsin2372172610210220.666816.证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC//AC11在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.所以DE//AC，于是DE//AC11又因为DE平面ACF,AC平面ACF111111所以直线DE//平面11ACF（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1因为A1C1平面A1B1C1，所以AA1A1C1又因为AC11A1B1，AA1平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1B1AA1A1所以平面ABBA1111因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D又因为11，11平面111平面1111BDAFACACF,AFA1C1F,ACAFA所以B1D平面A1C1F因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.17.本小题主要观察函数的看法、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，观察空间想象能力和运用数学模型及数学知识解析和解决实责问题的能力.满分14分.解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V柱=1A1B12PO1162224m3;33正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2OO1628288m3.所以库房的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0<h<6,OO1=4h.连结O1B1.因为在RTPO1B1中，OB12PO12PB12，2所以2ah236，即a2236h2.29于是库房的容积VV锥V柱a24h1a2h13a2h2636hh3,0h6，333进而V'26363h22612h2.3令V'0，得h23或h23（舍）.当0h23时，V'0，V是单调增函数；当23h6时，V'0，V是单调减函数.故h23时，V获取极大值，也是最大值.所以，当PO123时，库房的容积最大.18.本小题主要观察直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的地址关系、平面向量的运算等基础知识，观察解析问题能力及运算求解能力.满分16分.解：圆M的标准方程为2y225，所以圆心M(6，7)，半径为5,.x67（1）由圆心在直线x=6上，可设N6,y0.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，于是圆N的半径为y0，进而7y05y0，解得y01.所以，圆N的标准方程为2y12x61.(2)因为直线l||OA，所以直线l的斜率为40.220设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离267mm5d.55因为BCOA224225,10BC2而MC2d2,2m52所以255，解得m=5或m=-15.5故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设Px1,y1,Qx2,y2.因为A2,4,Tt,0,TATPTQ,所以x2x12t①y2y14因为点Q在圆M上，所以x262y27225..②x1t42y1225.将①代入②，得3于是点Px1,y1xt2y225上，既在圆M上，又在圆43进而圆x62y225与圆xt42y3225没有公共点，7所以55t462255,解得2221t2221.37所以，实数t的取值范围是2221,2221.．（）因为a2,b1，所以f(x)2x2x1912.①方程f(x)2，即2x2x2，亦即(2x)222x10，所以(2x1)20，于是2x1，解得x0.②由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x))22.因为f(2x)mf(x)6关于xR恒成立，且f(x)0，所以m(f(x))24xR恒成立.f(x)关于而(f(x))24f(x)42f(x)4(f(0))244，4，且f(0)f(x)f(x)f(x)所以m4，故实数m的最大值为4.（2）因为函数g(x)f(x)2只有1个零点，而g(0)f(0)2a0b020，11所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g'(x)axlnabxlnb，又由0a1,b1知lna0,lnb0，所以g'(x)0有唯一解x0logb(lna).alnb令h(x)g'(x)，则h'(x)(axlnabxlnb)'ax(lna)2bx(lnb)2，进而对任意xR，h'(x)0，所以g'(x)h(x)是(,)上的单调增函数，于是当x(,x0)，g'(x)g'(x)0；当x(x0,)时，g'(x)g'(x)0.00所以函数g(x)在(,x0)上是单调减函数，在(x0,)上是单调增函数.下证x00.若x0，则x0x00，于是g(x0)g(0)0，022又g(loga2)aloga2bloga22aloga220，且函数g(x)在以x0和loga2为端点的闭x0和loga2区间上的图象不中止，所以在2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0a1，2所以loga2x00，所以x10与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.0，又2x0若x00，同理可得，在和loga2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾.2所以，x00.于是lna1，故lnalnb0，所以ab1.lnb20．（1）由已知得aa3n1,nN*.n1于是当T{2,4}时，Sra2a43a127a130a1.又Sr30，故30a130，即a11.所以数列{an}的通项公式为an3n1,nN*.（2）因为T{1,2,,k}，an3n10,nN*，所以Sra1a2ak133k11(3k1)3k.2所以，Srak1.12（3）下面分三种情况证明.①若D是C的子集，则SCSCDSCSDSDSD2SD.②若C是D的子集，则SCSCDSCSC2SC2SD.③若D不是C的子集，且C不是D的子集.令ECCUD，FDCUC则E，F，EF.于是SCSESCD，SDSFSCD，进而由SCSD，得SESF.设k是E中的最大数，l为F中的最大数，则k1,l1,kl.由（2）知，SEak1，于是3l1alSFSEak13k，所以l1k，即lk.又kl，故lk1，进而SFa1a2al133l13l1ak1SE1222，故S2S1，所以SS2(SS)1，EFCCDDCD即SCSCD2SD1.综合①②③得，SCSCD2SD.21．A证明：在ADB和ABC中，因为ABC90,BDAC,A为公共角，所以ADB∽ABC，于是ABDC.在RtBDC中，因为E是BC的中点，所以EDEC，进而EDCC.所以EDCABD.13ab1b10B．解：设B，则B1B1acd2d0，0c12a1cb1d10即220，2c2d1a1c1a1121d1，所以B1故b0，解得b4.2412c0c0022d1d12111154所以，AB24.0210102x11y2tC．解：椭圆C的一般方程为x21，将直线l的参数方程2，代入4y3t22y21(3t)216x1，得(1t)221，即7t216t0，解得t0，t2.42417所以AB|t1t2|16.721D.证明：因为|x1|a,|y2|a33所以|2xy4||2(x1)(y2)|2|x1||y2|2aa.3322.解：（1）抛物线C:y22px(p0)的焦点为(p,0)2由点(p,0)在直线l:xy20上，得