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《基本不等式》同步练习1.已知a,b∈R+,则下列不等式不一定成立的是()A.a+b+eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)B.(a+b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(1,b)))≥4\f(a2+b2,\r(ab))≥a+b\f(2ab,\r(a+b))≥eq\r(ab)解析取a=eq\f(1,4),b=1试验知D不成立.答案D2.已知a>0,b>0,则eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+2eq\r(ab)的最小值是()A.2 B.2eq\r(2)C.4 D.5解析∵a>0,b>0,∴eq\f(1,a)+eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab)),当且仅当a=b时取等号,∴eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+2eq\r(ab)≥eq\f(2,\r(ab))+2eq\r(ab)≥4,当且仅当eq\f(2,\r(ab))=2eq\r(ab),即ab=1,∴当a=b=1时,eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+2eq\r(ab)有最小值4.答案C3.若对x>0,y>0,有(x+2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)+\f(1,y)))≥m恒成立,m的取值范围是()A.m≤8 B.m>8C.m<0 D.m≤4解析(x+2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)+\f(1,y)))=2+eq\f(4y,x)+eq\f(x,y)+2≥4+2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))=8.∴m≤8.答案A4.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()A.ab≤eq\f(1,2) B.ab≥eq\f(1,2)C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3解析∵a+b=2,∴a2+b2=a2+(2-a)2=2a2-4a+4=2(a-1)2+2,a∈[0,2].∴a2+b答案C5.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.x=eq\f(a+b,2) B.x≤eq\f(a+b,2)C.x>eq\f(a+b,2) D.x≥eq\f(a+b,2)解析依题意,可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1+a+1+b,2)))2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(a+b,2)))2,∴1+x≤1+eq\f(a+b,2).即x≤eq\f(a+b,2).答案B6.若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b解析3a+3b≥2eq\r(3a·3b)=2eq\r(3a+b)=6.当且仅当a=b=1时,取等号.答案67.设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则eq\f(y2,xz)的最小值是________.解析由x-2y+3z=0,得y=eq\f(x+3z,2),代入eq\f(y2,xz),得eq\f(x2+9z2+6xz,4xz)≥eq\f(6xz+6xz,4xz)=3,当且仅当x=3z时取“=”.答案38.函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则eq\f(1,m)+eq\f(2,n)的最小值为________.解析函数y=loga(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1).又∵点A在直线mx+ny+1=0上,∴2m+n∴eq\f(1,m)+eq\f(2,n)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)+\f(2,n)))(2m+n)=4+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)+\f(4m,n)))≥4+2eq\r(4)=8,当且仅当eq\f(n,m)=eq\f(4m,n).∵mn>0,∴n=2m∴当m=eq\f(1,4),n=eq\f(1,2)时,eq\f(1,m)+eq\f(2,n)有最小值8.答案89.已知x,y∈R+,且满足eq\f(x,3)+eq\f(y,4)=1,则xy的最大值为________.解析∵x>0,y>0,∴1=eq\f(x,3)+eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))=eq\r(\f(xy,3)),∴xy≤3,当且仅当eq\f(x,3)=eq\f(y,4),即x=eq\f(3,2),y=2时,xy有最大值3.答案310.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知|AB|=3m,|AD|=2m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,则AN(2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小值.解设AN的长为xm(x>2),则由eq\f(|DN|,|AN|)=eq\f(|DC|,|AM|)得|AM|=eq\f(3x,x-2).所以S矩形AMPN=|AN|·|AM|=eq\f(3x2,x-2).(1)由S矩形AMPN>32,得eq\f(3x2,x-2)>32.又x>2,所以3x2-32x+64>0,解得2<x<eq\f(8,3),或x>8.所以AN的长度的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,\f(8,3)))∪(8,+∞).(2)因为S矩形AMPN=eq\f(3x2,x-2)=eq\f(3x-22+12x-2+12,x-2)=3(x-2)+eq\f(12,x-2)+12≥2eq\r(3x-2·\f(12,x-2))+12=24,当且仅当3(x-2)=eq\f(12,x-2),即x=4时,等号成立.所以当AN的长度是4m时,矩形AMPN的面积最小,最小值为24m211.围建一个360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解(1)如图,设矩形的另一边长为am,则y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360由已知xa=360,得a=eq\f(360,x).∴y=225x+eq\f(3602,x)-360(x>0).(2)∵x>0,∴225x+eq\f(3602,x)≥2eq\r(225×3602)=10800.∴y=225x+eq\f(3602,x)-360≥10440.当且仅当225x=eq\f(3602,x)时,等号成立.即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.12.设f(x)=eq\f(2x+4,4x+8).(1)求f(x)的最大值;(2)证明:对任意实数a,b恒有f(a)<b2-3b+eq\f(21,4).解(1)f(x)=eq\f(2x+4,4x+8)=eq\f(16·2x,2x2+8)=eq\f(16,2x+\f(8,2x))≤eq\f(16,2\r(2x·\f(8,2x)))=2eq\r(2),当且仅当2x=eq\f(8,2x)时,即x=eq\f(3,2)时等号成立.∴f(x)的最大值为2eq\r(2).(2)证明:∵b2
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