《基本不等式》同步练习 一等奖

《基本不等式》同步练习1．已知a，b∈R＋，则下列不等式不一定成立的是()A．a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)B．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b\f(2ab,\r(a＋b))≥eq\r(ab)解析取a＝eq\f(1,4)，b＝1试验知D不成立．答案D2．已知a>0，b>0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．5解析∵a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，当且仅当a＝b时取等号，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥eq\f(2,\r(ab))＋2eq\r(ab)≥4，当且仅当eq\f(2,\r(ab))＝2eq\r(ab)，即ab＝1，∴当a＝b＝1时，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)有最小值4.答案C3．若对x>0，y>0，有(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))≥m恒成立，m的取值范围是()A．m≤8 B．m>8C．m<0 D．m≤4解析(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝2＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)＋2≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8.∴m≤8.答案A4．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤eq\f(1,2) B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3解析∵a＋b＝2，∴a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2，a∈[0,2]．∴a2＋b答案C5．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()A.x＝eq\f(a＋b,2) B．x≤eq\f(a＋b,2)C．x>eq\f(a＋b,2) D．x≥eq\f(a＋b,2)解析依题意，可得(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a＋1＋b,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,2)))2，∴1＋x≤1＋eq\f(a＋b,2).即x≤eq\f(a＋b,2).答案B6．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b解析3a＋3b≥2eq\r(3a·3b)＝2eq\r(3a＋b)＝6.当且仅当a＝b＝1时，取等号．答案67．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则eq\f(y2,xz)的最小值是________．解析由x－2y＋3z＝0，得y＝eq\f(x＋3z,2)，代入eq\f(y2,xz)，得eq\f(x2＋9z2＋6xz,4xz)≥eq\f(6xz＋6xz,4xz)＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．答案38．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为________．解析函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1)．又∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n∴eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋n)＝4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥4＋2eq\r(4)＝8，当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n).∵mn>0，∴n＝2m∴当m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2)时，eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)有最小值8.答案89．已知x，y∈R＋，且满足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．解析∵x>0，y>0，∴1＝eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))＝eq\r(\f(xy,3))，∴xy≤3，当且仅当eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)，即x＝eq\f(3,2)，y＝2时，xy有最大值3.答案310．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3m，|AD|＝2m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2，则AN(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小值．解设AN的长为xm(x>2)，则由eq\f(|DN|,|AN|)＝eq\f(|DC|,|AM|)得|AM|＝eq\f(3x,x－2).所以S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝eq\f(3x2,x－2).(1)由S矩形AMPN>32，得eq\f(3x2,x－2)>32.又x>2，所以3x2－32x＋64>0，解得2<x<eq\f(8,3)，或x>8.所以AN的长度的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))∪(8，＋∞)．(2)因为S矩形AMPN＝eq\f(3x2,x－2)＝eq\f(3x－22＋12x－2＋12,x－2)＝3(x－2)＋eq\f(12,x－2)＋12≥2eq\r(3x－2·\f(12,x－2))＋12＝24，当且仅当3(x－2)＝eq\f(12,x－2)，即x＝4时，等号成立．所以当AN的长度是4m时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24m211．围建一个360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解(1)如图，设矩形的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360由已知xa＝360，得a＝eq\f(360,x).∴y＝225x＋eq\f(3602,x)－360(x>0)．(2)∵x>0，∴225x＋eq\f(3602,x)≥2eq\r(225×3602)＝10800.∴y＝225x＋eq\f(3602,x)－360≥10440.当且仅当225x＝eq\f(3602,x)时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．12．设f(x)＝eq\f(2x＋4,4x＋8).(1)求f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数a，b恒有f(a)<b2－3b＋eq\f(21,4).解(1)f(x)＝eq\f(2x＋4,4x＋8)＝eq\f(16·2x,2x2＋8)＝eq\f(16,2x＋\f(8,2x))≤eq\f(16,2\r(2x·\f(8,2x)))＝2eq\r(2)，当且仅当2x＝eq\f(8,2x)时，即x＝eq\f(3,2)时等号成立．∴f(x)的最大值为2eq\r(2).(2)证明：∵b2