数学物理方法-优第7章

第二篇数学物理方程1.这些问题的几种常用解法这往往导致以时间为自变数的常微分方程(质点的运动方程、电路微分方程但是以及它怎样随着时间而变化这些问题中的自变数就不仅仅是时间,而且还有空间坐标解决这些问题在空间中的分布规律和在时间中的变化规律例如在半导体扩散工艺中在这两种情况下定义边界条件例如一根在薄刀背敲击下发出比较刺耳另一根在宽锤敲击下或手指的弹拨下发出比较和谐,定义初始条件不过是物理量u它是物理量uu在任意地点(x,y,z)和任意时刻t的值u(x,y,z,t).它的直接表现只能是u首先当然要确定研究哪一个物理量它们分别属于三种类型,对应着数学的三类偏微分方程 实际上振动总是到整根弦,弦的各处都振动起来就取这直线作为x轴(图7-1).把弦上各点的横向位移记作这样,横向位移u是和t的函数,记作要推导的就是u机械运动的基本定律是质点力学的所以F=ma对每个质点即每个小段可以应用拿区间(x,x+dxBB它就只受到邻段AC的拉力T1和弦的每小段都没有纵向(即x所以作用于B的纵向合力应为零,弦的横向加速度记作utt(这是记号2ut2按照F=ma,小段B的纵向和横向运动方程分别为T2cosα2T1cosα1 ds为小段B的弧长,

这时α1,α2为小量, 如果忽略α2,α2以上的高阶小 1 cosα11α2/2!1,cosαsinα1α1α3/3!α1tanα1,sinα2α1

ds

1(ux)2dxdx(其中uxuxtanαα又tanα1ux|x,tanα2ux这样,T2cosα2T1cosα1 T2sinα2T1sinα1 简化 TT简化 T2ux|xdxT1ux|xuttρdx.因此T2T1X在振动过程中的每个时刻都有长度ds即长度ds所以作用于B弦中张力既跟x无关,又跟t无关,T2ux|xdxT1ux|xuttρdx(7.1.4)成为T(ux|xdxux|x由于dxx(其中uxxux2ux22x这样,BρuttTuxx0其实,作为代表的B所以方程ρuttTuxx07.1.5)适用于弦上各处,对于均匀弦,ρρuttTuxx07.1.5)通常改写为utta2uxx0其中a2T/p.以后会看到a就是振动在弦上的速度质点的运动方程也就是以时间t而弦的位移u是时间t和坐标x两个自变数的函数,弦的运动方程那么是以x和t质点之间的牵连反映在uxx每单位长度弦所受横向力F(xt),那么应将T2

T1sinα1

T2sinα2T1sinα1F(xt)dx(ρds)uttutta2uxx0(7.1.6)修改为u

f(x,t). 式中f(x,tF(x,tρ为tx这里要推导的是杆上各点沿杆长方向的纵向位移u(x,t) 拿区间(x,x+dxB7-2在振动过程中,B两端的位移分别记作u(x,t)和u(xdxtudu|tB段的伸长即是u(xdxtu(xtdu|tu而相对伸长那么是[u(xdxtu(xtdxdu|t/dxuxdxdxu相对伸长ux还随地点而异在B分别是ux|x和ux|xdx.如果杆的材料的杨氏模量是根据胡克定律,BEux|x和Eux|xdx于是,写出B段的运动方程ρ(Sdx)uttESux|xdxESux|xESux式中ρ为杆的密度,SSdxputtEuxx0对于均匀杆,E和ρputtEuxx0.(7.1.8)可以改写成u 0,(7.1.9)其中a2E/ρ 这跟弦振动方程utta2uxx0(7.1.6a也就是纵振动在杆中的速度杆的受迫纵振动方程也跟弦的受迫振动方程utta2uxxf(xt(7.1.7只是其中F(x,t)____7-取x与x+dx分别记作R,G,C和L.我们所研究的小段可以看作是分立的电阻Rdx和自感Ldx串接路中,分立的电容Cdx和漏电电阻(1/G)dx跨接在两线之间,7-还有两线之间的电容Cdx这是由于导线电阻Rdx和两线之间的电感Ldx上的感生电动势(Ldx)j 即jxGvCvtvxRjL亦即

j(GC)v

(RLt)Jxv以x作用于(7.1.11的第一式,以GC/t)作用于第二式,两者相减就消去v,得j(x,t)的方程LCjttjxx(LGRC)jtRGj0以(RLt作用于

j(GC)v

(7.1.11 (RLt)Jxv以/x作用于其第二式两者相减就消去入得v(x,t)的方程LCvttvxx(LGRC)vtRGv0导线电阻RGLCjttjxx(LGRC)jtRGj0(7.1.12LCvttvxx(LGRC)vtRGv0.jtta2jxx0和vtta2vxx0其中a21LC14.23,1/LC方程LCjttjxx(LGRC)jtRGj0和LCvttvxx(LGRC)vtRGv0以及它们的特例vtta2vxx0(7.1.14)传输线方程vtta2vxx07.1.14)跟弦振动方程utta2uxx07.1.6杆纵振动方程(7.1.9是完全一样,xyxy膜上各点的横向位移记为u(x,y,t).如果在膜上划一直线(参看图7-4a),直线上任一点的张力T记张力Txyα7-α0所以,张力T的横向分量TsinαTtanαTunTxy即直线在xy平面的投影的法线方向,拿x与x+dx之间,y与y+dy7-4b先看x和x+dx张力的横向分力分别是Tux|x和Tux这样,这小块膜在x和x+dx[Tux|xdxTux|x]dy同理,在y和y+dy两边所受横向作用力是用ρ即ρuttT(uxxuyy02/x22/y2叫作二维拉斯算符,通常记作或者为了强调二维而记作

7.1.15puttTΔ2uρuttT(uxxuyy0(7.1.15utta2Δ2u0式中常数a2T/ρ,a为膜上振动的速度记单位面积上的横向外力为那么得薄膜的受迫振动方程utta2Δ2uf(xy,t其中f(xytF(xytρ流体力学中研究的物理量是流体的流动速度v、压强p和,密度ρ相应地要研究空气质点在平衡位置附近的振动速度vp和密度ρ这种疏密相间状态向周围的形成声波记空气处于平衡状态时的压强和密度分别为p0并把声波中的空气密度相对变化量(ρρ0)/ρ0记为sρρ0,ρρ(1ρ0ρ0由于空气的振动速度|v|声速,v是很小的量,且假定：声振动不过分剧烈,s也是很小的量在不受外力的情况下,略去v和s的二次以上的小量可以导出声波方程(其推导本书从略sa2Δs0(a2γρ0)(7.1.18 其中γ为空气定压比热容与定容比热容的比假设在声波过程中,空气是无旋的,即v由于对任何存在二阶偏导数的标量函数φ(xy,z),有φ总可以找到一个标量函数u(x,y,z,t满足v(x,y,z,t)u(x,u称为速度势进而可得u从的声波方程为ua2Δu0(a2γρ0ρ ρ0跟方程

a2Δs0(a2γρ0

7.1.18)形式相同 (六)电磁波方在国际单位制下,方程为Etta2Δ3E0和Htta2Δ3H0其中a21μ0ε0光速平方E、H为真空中电场强度和磁场强度,(七)扩散方这种现象叫作扩散扩散现象广泛存在于气体、液体和固体中制做半导体器件就常用扩散法把硅片放在扩散炉里,杂质就向硅片里面扩散这种只沿某一方向进行的扩散叫作一维的扩散,在扩散问题中研究的是浓度u在空间中的分布和在时间中的变化u(x,扩散运动的是浓度的不均匀浓度不均匀的程度可用浓度梯度u表示,扩散运动的强弱可用扩散流强度q,即单位时间里通过单位横截面积的原子数或分子数或质量表根据实验结果,扩散现象遵循的扩散定律即斐克定律是qDu.或写成分量形式qDu

,Du,qDu

比例系数D叫作扩散系数,不同物质的扩散系数备不一样拿x与x+dx之间,y与y+dy之间,z与z+dz7-5先单位时间内x方向的扩散流在左表面,流量qx|xdydz是流入平行六面体的；在右表面,流量qx|xdxdydz那么是流出的,由于dx取得很小,q q|qxdx.出入相抵x x 单位时间内x方向净流入流量(qx|xdxqx|xx(Dyz单位时间内y方向净流入流量

(D 单位时间内z方向净流入流量

(D 即udxdydvar(Du

(Du)

(D

其中ut于是得三维扩散方程u[(Du

(Du)

(Du)]0.

如果仅在x那么一维扩散方程为uta2uxx0(a2D现在说一说有源或汇的扩散问题,两种情况扩散源的强度(单位时间内单位体积中产生的粒子数)为F(xy,z,t与浓度u无关,

[(Du)

(Du)

tuta2ΔuF(x,y,z,t)(a2D).扩散源的强度与浓度u例如235U原子核的链式反应使中子数增

中子浓度增殖的时间变化率为b2ub2即与中子浓度u一维和三维扩散方程应分别修改为uta2uxxb2u

ua2Δub2u0uueλtλ(λ00即u02ueλτ所以λ(ln2τ00于是uue(ln2)t/τ0对t但比例系数别修改为λ(ln2τu ln2u相应地,一维和三维扩散方程应分别修改为 2

tuaΔut

τu在热传导问题中研究的是温度在空间中的分布和在时间中的变化热传导的是温度的不均匀温度不均匀的程度可用温度梯度u示,热传导的强弱可用热流强度q,即傅里叶定律是qku,比例系数k可导出没有热源和热汇的一维和三维热传导方程

(ku)0,

[(ku)

(ku)

(ku)]0,

其中c是比热容,ρ对于均匀物体,k,c,p上式成为uta2uxx0,(a2k

ua2Δu 跟扩散方程uta2uxx0(a2D热源强度(单位时间在单位体积中产生的热量)为F(x热传导方程cρu(ku)0,tcρu[(ku)

(ku)

(ku0,(7.1.32应修改为

(ku)F(x,t),

[(ku)

(ku)

(ku)]F(x,y,z,t).

cρu(ku)F(x,t), 和

[(ku)

(ku)

(ku)]F(xyzt(7.1.36

uta2uxx (a2k

ua2Δuf(x,y,z, 其中f(xt)F(xtcρ,f(xyzt)F(xyzt如果扩散源强度F(xy,z空间中各点的浓度不再随时间变化,即ut如D是常数,有DΔuF(xy,z(7.1.39这是泊松方程,如没有源,那么是拉斯方程Δu0.(7.1.40)DΔuF(xy,z(7.1.39Δu07.1.40如果热源强度F(xy,z空间中各点的温度不再随时间变化,即ut0,

[(ku)

(ku)

(ku)]F(xyzt(7.1.36成为(kuF(xy

如kkΔuF(xyx(7.1.41也是泊松方程,如没有热源,也简化为拉斯方程Δu0.kΔuF(xyx(7.1.41)和Δu0(7.1.42高斯定理可以表述为：穿过闭合曲面向外的电场强度通量等于闭合曲面所围空间T中电量的1/ε0ε0为真空介电常数EdS1 ε0EdV1 ε0上式对任意的空间TE1ρ.E是无旋的,即E0(7.1.44)E1ρ7.1.43E07.1.44)DεoE,B0Dρ和EBt由E1ρ(7.1.43存在电势函数V(x使EV将EV.(7.1.45)代入E1ρ(7.1.43ΔV1ρ 这就是静电场的电势函数VE是矢量,而V求解方程ΔV1ρ(7.1.46如果在静电场的某一区域里没有电荷,即ρ那么电势函数V的静电场方程ΔV1ρ在该区域上简化为拉斯方程ΔV0其中EIρ方程中出现关于空间坐标x如果单位长度杆上外加横向力是F(x那么相应的方程为utta2uxxxxF(x,tρf(x,t其中f(x,t)微观粒子在势场V(xy,z,t中,波函数u这里用u满足薛定谔方程

势能V不显含时间t对于定态,方程的

ΔuVu(7.1.65)简化为定态薛定谔方程

ΔuVuEu对于随着时间而发展变化的问题对于输运过程(扩散、热传导u的初始分布(初始浓度分布、初始温度分布).因此,初始条件是u(xyzt|t=0φ(xyz)(7.2.1)其中φ(xy,z)是已知函数对于振动过程(弦、杆、膜的振动,较高频率交变电流沿传输线u(xyzt|t0φ(xyz(7.2.2)是不够的ut(xyzt|t0ψ(xyz从数学的角度看,t这个自变数而言输运过程的泛定方程只出现一阶的导数ut是一阶微分方程所以只需一个初始条件u(xyzt|t=0φ(xyzutt是二阶微分方程,需要两个初始条件u(xyzt|t0φ(xyz)(7.2.2)_和ut(xyzt|t0ψ(xyz_例如,l而两端固定的弦h(7-然后放手任其振动所谓初始时刻就是放手的那个瞬间初始速度显然为零,即ut(xt|t00,至于初始位移如写成u(xt|t0那就错了,h只是弦的中点的初始位移,其他各点的位移并不是h.考虑到弦的初始形状是由两段直线衔接而成初始位移应是x的分段函数u(x,t) (2h/

(在[ l/2]上

l]上自由输运就衰减到可以认为已没有外加力只是由于初始偏离或初始速度引起的振动叫作自由振动上节推导自由振动方程时没有计及阻尼作用(3要求计及阻尼作用),初始条件引起的自由输运或自由振动衰减到可以认为已我们完全可以忽略初始条件的影响这类问题也就叫作没有初始条件的问题用表示边界,第二类un

第三类(uHun

f(M,t),其中M代表区域边界f,H例如长方体的长、宽、高分别为a,b,c各自沿xyz如果Mx轴的表面x=0x=a上,M点的x坐标已确定,于是已知函数f(M,t)仅是yz,t的函数,比待解函数u(rt少一个自变数,例如弦的两端x=0x=l那么边界条件是u|x=00,u|x=l=0.x=auf(t)那么该端点的边界条件是u(xt|xaf(t7.2.7特别是如果该端点处于恒温u0那么边界条件成为u(xt|xau0硅片的边界就是它的表面x=0和x边界上的物理状况则是杂质浓度坫保持为常数u(x,t)|x0N0,u(x,t)|xl例如作纵振动的杆的某个端点x=a根据胡克定律,该端点的张应力Eun|xa与外力的关系为(Eun|x=aSf(t其中Sf(t0,则un|xa当f(t0对x=l端点,ux|xlf(t对x=0ux|x=lf(t如果杆的某个端点x=a那么根据热传导定律,边界条件为kun|x=af(t如果热流f(t是流入,那么边界条件为kun|xa如果端点绝热,那么un|xa如果杆的某一端点x=a即杆端和周围介质(温度θ从“自由冷却”这个条件既不能推断在该端点的温度u也不能推断在该端点的温度梯度ux的值,但是,自由冷却规定了从杆湍流出的热流强度(kunu|xaθ即(uHun|xaθ(Hk对于两端x=0x=l7-在x=ln就是x所以自由冷却条件可表为(uHux|xl在x=0n就是-x所以自由冷却条件可表为(uHux|x0如果杆端跟周围介质的热交换系数h远远大于杆的热传导系数那么Hkh上述边界条件 为第一类边界条件u|x0θu|Ul如果某一端点x=a从“弹性连接”既不能推断在该端点的位移u也不能推断在该端点的相对伸长ux的值, 性力(ESun等于弹性连接物中的弹性恢复力(-ku,k于是有(uESu) n其中f≡0的边界条件又叫作齐次的,杆的一端挂有重物而作纵振动(图7-10).杆端所受的力有重力(mg)和惯性力(-mutt)所以ESux|xlmgmutt|xl在这个边界条件中不仅出现对x的偏导数ux还出现了对t的偏导数的utt以弦振动为例,就x弦振动方程中出现二阶导数uxx,是二阶微分方程,杆的横振动方程中出现四阶偏导数uxxxx,例如,端点x=a7-11a),即u|xa0,ux|xa0又如端点x=a7-即u|xa0,uxx|xa0(支撑端即uxx即uxx|xa0,uxxx|xa0(自由端例如,长为l车子以速度v07-x=0端固定而x=1可用"u|x00ux|xl0而想到什么x=0端在突然停止时有某个冲力,x=l既然"u|x00"ux|xl0能够确切说明x=0端固定而x=l端自由,如果在某一端点x=a流的强度q是已知的,即Dun|xaq.uta2uxxqcρ.其强度处处是q.这样,有限长的真实的弦抽象成的弦在1100℃左右,用扩散法制做超导材Nb3Sn线,硅片或铌芯的厚度l很小,不到一毫米,如果着重研究边界x=0棚、磷、锡原子来不及达到另一边界x=l,x=l我们不妨认为不存在另一边界认为硅片或铌芯从x=0_构成半的问题_如果有横向力F(t)集中地作用于xx07-在折点x0,斜率ux的左极限值ux(x00t跟右极限值ux(x00t不同,即ux有跃变,因而uxx不存在,弦振动方程utta2uxx0在这一点没有意义,这样,我们只能把xx0和xx0两段分别考虑,对于xx0的一段,无法列出xx0处的边界条件对于xx0的一段,无法列出xx0处的边界条件；xx0即u(x00tu(x00t7.2.9其次,在折点,力F(t)应同张力T即F(tTsinα1Tsinα20.由于sinα1tanα1ux(x00sinα2tanα2ux(x00,上式即Tux(x00tTux(x00tF(t).(条件u(x00tu(x00t(7.2.9和Tux(x00tTux(x00tF(t).(7.2.107.4不必详细过渡区上的变化情况把所有自变数(把所有自变数(包括空间坐标和时间坐标)依次记作x1,x2 , i二阶偏微分方程如果可以表为aijuxxbiuxicufij=1 其中aj,bi,c,f只是x1,x2 ,xn的函数,就叫作线性的方程7.1如f0那么方程称为齐次的,否则叫非齐次的,从7.1导出的各方程来看,

ln2u例如,扩散方程utauxxbu

(7.1.29

(7.1.30ua2Δub2u

t uaΔut

τu本书将经常叠加原理先研究两个自变数x和ya11uxx2a12uxγa22uyyb1uxb2uycuf0,其中假定a11,a12,a22b1,b2,c,f只是x和y我们假定a11,a12,a22bl,b2,c,f试作自变数的代换xx(ξ,η即ξξ(xy),y(ξ,η)(x,

ηη(x,ηη(x,通过代换ξξ(xy(7.3.3u(xηη(x,这里,还应把方程a11uxx2a12uxγa22uyyb1uxb2uycuf0(7.3.2)改用新的自变数ξ和η为此,作如下计算uxuξξxuηηx,uxx(uξ2uξ

uξξyuηηyuξ)(uη

uη2uη)uξ22uξ

uη2u

uξξ ξηx ξ ηξx ηη η ξξ ξηx ηη ξ η

(uξξξxξyuξηξxηyuξξxy)(uηξηxξyuηηηxηyuηηxy)uξξξxξyuξη(ξxηyξyηx)uηηηxηyuξξxyuηηxy

(uξ2uξ

u )(uη

uη2uη)uξ22uξ

uη2u

uξξ ξηy ξ ηξy ηη η把(7.3.4)和(7.3.5)代入(7.3.2)

ξξ ξηy ηη ξ η采用新自变数ξ和η后的方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF0A11aξ22aξ

aξ2AA

11

l2x 22a12(ξxηyξyηx

a22ξyηyA22aη22aη

aη2其中系数

x

22b

b 1 22 a11ηxx2a12ηxya22ηyyb1ηxb2ηy2 方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF0(7.3.6仍然是线性的,从(7.3.7可以看到,如果取一阶偏微分方程az22azzaz20(7.3.8),它的一个特解作为新自变数11 12x 22那么aξ22aξξaξ20,从而 11 12x 22 如果az22azzaz20(7.3.8的另一特解作为新自变数11 12x 22那么A22这样,方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF07.3.6一阶偏微分方程az22azzaz20(7.3.811 12x 22

az22azzaz20(7.3.8)可改写为a(zx)22a(zx

0. 12x 22

如果把z(x,y)=常数当作定义隐函数y(x那么dydxzx从而a(zx)22a(zx

0.(7.3.9正是a(dy)2

dy

11

常微分方程a(dy)2

dy

11 12 叫作二阶线性偏微分方程a11uxx2a12uxγa22uyyb1uxb2uycuf0(7.3.2)特征方程的一般积分"ξ(xy常数"和"η(xy)=特征方程a(dy)2

dy

11

12a12

a2a

1122 a12 a2a 1122, 通常根据(7.3.127.3.137.3.2)a2a

11a2a

0,抛物型. 11a2a

0, 11方程a11uxx2a12uxγa22uyyb1uxb2uycuf0(7.3.2)的系数a11,a12和a22可以是x和yA11aξ22aξ

aξ2AA

11

l2x 22a12(ξxηyξyηx

a22ξyηyA22aη22aη

aη2用

x

22b

b 1 22 a11ηxx2a12ηxya22ηyyb1ηxb2ηy2 容易验证A2A (a2aa)(ξηξη)2 11 11 x y 11 a12 a2 11

11 a 11

a2a

,(7.3.13ξ(xy)=常数,η(x,y 取ξξ(xyηη(x,y)作为新的自变数,那么A110A220从而自变数代换后的方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF0(7.3.6 1[B

B

1 2

α1(ξ在作自变数代换ξαβ,即 ηα

1(ξ2那么方程 1[B

B

1 2

1

B

B

2Cu2F]

如弦振动方utta2uxx0(7.1.6)和u

f(x,

杆的纵振动方程utta2uxx0电报方程

a12

a2a

1[B B F7.1.14) 11

ξη

ξ

2η

由于a2a

11 11特征方程

a12

a2a

7.3.12

a

(7.3.13 11 11dya12, 它们只能给出一族实的特征线ξ(xy常数那么ξξ(xy)(7.3.9取ξ作为新的自变数

取与ξxy)无关的函数ηη(x,ya11a22将ξxξydydxa12a11a11a22

代入 ξ2[a(x)2 xa] y[a2

a] 11

12 ξx

η)aη]ξyηy[a2

a] ξy[a11(

)

22

ηx2

ηy[a11(η

12

a22]ηy[a11(η) a22 可见,只要取η(x,y)使ηx/ηy 即ηdya12 则A220A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF0(7.3.6 1[BuB

A 1 2A 11 a 11

a2a

(7.3.12

a

,(7.3.13 11各给出一族复数的特征线ξ(xy 11而且ηξ*取ξξ(xy和ηη(xyξ*(xy)作为新的自变数那么A110A220从而自变数代换后的方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF07.3.6为 1[B

B

1 2这方程不同于 1[B

B

1 2αReξ1(ξ通常又作代换ξαiβ,即 ηα

βImξ

1(ξη)那么方程 1[B

B

1 2

1

B

B

2CuF]

(7.3.18或(7.3.19是椭圆型方程的标准形式平面稳定场方程如稳定浓度分布DΔuF(xy,z稳定温度分布kΔuF(xyx静电场方程ΔV1ρ(7.1.46和ΔV0旋恒定电流场方程(7.1.54)和无旋定常流动方程(7.1.61和(7.1.62等在二维情况下,都是 1

B)ui(BB

2CuF(7.3.19形式的椭圆型方程

(三)n 线性方程aijuxxbluxcuf0i j=1 试作自变数的代换ξkξk(x1,x2 ,xn),k 代换的雅可俾式(ξ1,ξ2 ,ξn)(x1,x2 ,xn ,xn)成为ξ1,ξ2,,ξ的函数n 这里,还应把方程aijuxxbluxcuf

7.3.1改用新的自变教ξk表出i j=1 n n

u(ξ

k

uξξ(ξk)x(ξl

uξ(ξk)x i

k1

k

in 把(7.3.21代入aijuxxbluxcuf0i j=1

得到采用新自变数ξ1,ξ2,,ξn后的方程Akluξ

CuF0,n n

a(ξ)(ξ

k n=1 n其中系数

j1

k

x

Bkbi(ξk

aij(ξk)x

ij1 方程Akluξ

CuF0(7.3.22仍然是线性的k k=1 值得注意的是n二阶偏导数的系数变换公式恰恰是二次齐次式aijyiyj(7.3.24)j1nl在自变数代换(y1,y2 ynη1,η2 ηn)yi(ξk)xη(7.3.25)lkn二次齐次式aijyiyj(7.3.24)可以用适当的代换而对角化j1 在相应的代换下,方程Akluξξ

CuF0(7.3.22)即Aij0(i

k k=1 AA

1或二次齐次式对角化时有一条惯性定律An之为正或为负或为零的个数亦各为一定,所有n个Att0且全为同号有某些Att所有n个 0,其中n1个同号,另一反号所有n个 0,两种符号都不止一个

椭圆型;抛物型;双曲型;超双曲型 ux

CuF0i ux

CuF0l ux

uxx,

CuF01 i uxx

ux

CuF0超双曲型i i 量子力学的薛定谔方程(7.1.65虽是抛物型的,但于系数中有i 1所以并不代表输运过程,应当除非自变数的个数n二阶线性偏微分方程(7.3.1)只能逐点(x1,x2, ,xn)化为上述标准形式,即使方程在某个区域上各点属于同一类型一般还是不能在该区域上各点同时化为标准形式道理是这样的：非“对角的”系数Aij)有n(n1)(7.3.27个 n(n-1)/2个条件n)可供选择的代换ξk(kn)

如果n>3,那么(7.3.23总是小于7.3.27),因而不可能选择一种代换使所有非“对角的”系数全为零n=3,那么(7.3.28等于7.3.27),可选一代换便所有非“对角的”系数为零,因此,必须n2,才有可能在某一区域上(四)如果线性方程的系数都是常数那么按上述方法化成标准形式之后还可以进一步简化以传输线方程LCjttjxx(LGRC)jtRGj0(7.1.12或LCvttvxx(LGRC)vtRGv0(7.1.13为试作函数变换u(xt)v(xt),u(xt)eλxμtv(xt),(7.3.30)λμ是尚待确定的常数, eλxμt(vλv) t

eλxμt

uLt (vu2μvt把u(xteλxμtv(xt(7.3.30和(7.3.31代入LCu

RGu0约去公共因子eλxμt

得LCvttvxx2λvx[2μLC(LGRC)]vt[LCμ2λ2μ(LGRCRG]vλ0μ(LGRC2LC,即u(xte那么一阶偏导数vt和vx的项

v(x,方程简化为

tt

(LGRC)2v0.然后利用附加条件确定这些常数(一)试研究均匀弦的横振动方程utta2uxx0均匀杆的纵振动方程utta2uxx0vtta2vxx07.1.14它们具有同一形式

即aa)u0 (1方程(aa)u

(7.4.1)的形式提示我们作代换xa(ξηtξη

x

a ξ ξ tx

(a η

η

方程(aa)u0(7.4.1)就成为(2ξη)u x

ηxηx把代换(7.4.2)修改为t

1(ξη),

即ξx方程(7.4.1

07.4.3)先对η积分,得uf(ξ(7.4.4其中f再对ξ积分,就得到通解uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(ηf1(xat)f2(x其中f1和f2都是任意函数式uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(η就是偏微分方程(aa)u0(7.4.1 通解uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(η7.4.5具有鲜明物理意义,以f2(xat)而论,改用以速度a沿x正方向移动的坐标轴X,T那么新旧坐标和时间之间的关系为XT而f2(xat与时间T亦即是随着动坐标系以速度ax

f1(xat)是以速度ax这样,偏微分方程(a

a)u0.(7.4.1)描写以速度a向x正负两个方 的行波(2)函数f1与f2的确

通解uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(η7.4.5中函数f1与f22设初始条件是u|t0φ(x),ut|t0ψ(x(x以一般解uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(η7.4.5 f(x)f(x) 即f(x)f(x) ψ(ξ)dξf(x)f(x2ax f(x)1φ(x)1 [f(x)f(x1122ax2 f2(x) φ(x)1112x0 [f1(x0)f2(x02即得满足初始条件u|t0φ(x),ut|t0ψ(x(x22a设初速为零即ψ(x于x(x1x222u07-14a

xx1

xx1x2 0x φ(x)

xx2x1x

x1

2xx2 2 (xxlxx2达朗贝尔公式(7.4.7给出u(xt1φ(xat1φ(x 即初始位移(7-l4b最下一图的粗线所描画)分为两半(该图细线a移动(7-14b由下而上各图的细线所描画_这两个行波的和(7-14b由下而上各图的粗线所描画)给出各个时刻的波形_作为第二个例子设初始位移为零即φ(x)而且初始速度ψ(x)也只在区间(x1x2上不为零

[x不在(x,x)上 达朗贝尔公式u(xt1[φ(xatφ(xat

xatψ(ξ)dξ.给出u(xt1xatψ(ξ)dξ

xat2a-

2aΨ(xatΨ(xat这里Ψ(x指的是(7- (xx1Ψ(x) xψ(ξ)dξ1(xx)φ(xxx(xx)φ(x 于是,作出Ψ(x和Ψ(x两个图形a分别向左右两方移动(7-16由下而上各图的细线所描画两者的和(7-16由下而上各图的粗线所描画)就描画出各个时刻的波形7-14b中,波已“通过”的地区,在图7- 中,波已“通过”的地区,虽然振动 (二)半无限长的弦具有一个端点先utta2uxx0,0x

___u|t0___ut|t0

0xu|x00.注意初始条件(7.4.9)里的φ(x和ψ(x)必须宗量x0才有意义,这是因为在x<0的区域上弦并不存在,也就谈不上初始条件__5.2不妨把这根半无限长弦当作某根无限长弦的x0的部分,按照u|x00.(7.4.10),这无限长弦的振动过程中,x=0必须保持