上海教育发展研究院附属中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析

上海教育发展研究院附属中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有以下四个命题：①若，则.②若有意义,则.③若,则.④若,则.则是真命题的序号为(

)

A．①②

B．①③

C．②③

D．③④参考答案：A2.若数列的前n项和为，则下列命题：

（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；

（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；

（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是

（4）若是等比数列，则的充要条件是

其中，正确命题的个数是

（

）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：B3.设，不等式的解集是，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知函数，下列说法正确的是（

）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是上的常函数D．，是上的单调函数参考答案：D函数的定义域为。当时，。当时，函数为奇函数。，若，则，所以函数在区间和上，函数递增。若，则，所以函数在区间和上，函数递减。所以D正确，选D.5.已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图,其俯视图是面积为8的矩形,则该几何体的表面积是（

）A．20+8 B．24+8C．8 D．16参考答案：A【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2此几何体是一个三棱柱，且其高为，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为，（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8．【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．9.某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（

）A.B.C.D.参考答案：A【分析】通过三视图的特点,还原为三棱锥,然后计算三棱锥面积.【详解】由三视图可知三棱锥为如图所示，在△中,,；在△中,,；在△中,,；在△中,,；故表面积为.【点睛】本题考查了三视图的还原问题以及三棱锥表面积的计算,关键是根据三视图特点还原为三棱锥.10.函数y=的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，E是C的准线上位于x轴上方的一点，直线EF与C在第一象限交于点M，在第四象限交于点N，且|EM|=2|MF|=2，则点N到y轴的距离为．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意可知丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，根据相似三角形的性质，即可求得p的值，由丨EN丨=2丨DN丨，根据抛物线的定义，即可求得丨DN丨=3，点N到y轴的距离为丨DN丨﹣．【解答】解：过M，N做MH⊥l，ND⊥l，垂足分别为H，D，由抛物线的定义可得丨FM丨=丨MH丨，丨FN丨=丨DN丨|EM|=2|MF|=2，则丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，∴∠EMH=，∠MEH=，∴p=，抛物线的标准方程为y2=3x，在Rt△EDN中，sin∠MED=，则丨EN丨=2丨DN丨，即丨EM丨+丨MF丨+丨DN丨=2丨DN丨，则丨DN丨=3，点N到y轴的距离为丨DN丨﹣=3﹣=，故答案为：．12.如左下图所示，是某校高三年级文科60名同学参加谋科考试所得成绩（分数均为整数）整理后得出的频率分布直方图，根据该图这次考试文科60分以上的同学的人数为____________.参考答案：45略13.若函数在内有极小值，则实数的取值范围是___________．参考答案：略14.如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表面积是

cm2，体积为

cm3．参考答案：14+2，4。考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：判断得出该几何体是三棱锥，利用题中数据，即可求解几何体的表面积、体积．解答： 解：根据三视图得出：该几何体是三棱锥，AB=2，BC=3，DB=5，CD=4，AB⊥面BCD，BC⊥CD，∴几何体的表面积是+++=14+2其体积：×S△CBD×AB==4，故答案为：14+2；4．点评：本题考查了三棱锥的三视图的运用，仔细阅读数据判断恢复直观图，关键是确定几何体的形状，属于中档题．15.已知集合|，若，则实数m的取值范围是

参考答案：16.已知双曲线的左、右端点分别为，点，若线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为__________．参考答案：由题意可得，为正三角形，则，所以双曲线的离心率.17.的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第2项为________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数.(Ⅰ)当时，求函数在，上的最大值、最小值；(Ⅱ)令，若在上单调递增，求实数的取值范围.参考答案：解:(Ⅰ)时,，由

，可以看出在取得极小值,在取得极大值…5分而由此,在上,在处取得最小值,在处取得最小值…6分(Ⅱ)…7分在上恒有考察的对称轴为(i)当,即时，应有解得:，所以时成立…………9分(ii)当,即时，应有即:

ks5u解得…………12分综上：实数的取值范围是…13分19.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（1）设M为线段A1C的中点，求证：BM//平面A1DE；（2）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值．

参考答案：【知识点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．G4G11

【答案解析】（1）见解析；（2）解析：（1）取的中点F，连结MF，则MF//CD，且MFCD，即MF∕∕BE，MF=BE，故四边形BEFM是平行四边形，则BM//EF，BM平面A1DE，EF平面A1DE，所以BM//平面A1DE；…………7分（2）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，∴∠A1CE即为直线CD与平面A1CE所成的角．在Rt△A1CD中，sin∠A1CD，即直线CD与平面A1CE所成角的正弦值为．

……………14分【思路点拨】（1）取CD中点N，并连接MN，BN，容易证明平面BMN∥平面A1DE，所以便得到BM∥平面A1DE；（2）容易说明CE⊥平面A1DE，所以DA1⊥CE，又DA1⊥A1E，所以DA1⊥平面A1CE，所以∠A1CD便是直线CD与平面A1CE所成角，所以该角的正弦值为．20.设a、b、c∈R+，且a+b+c=1．（Ⅰ）求证：2ab+bc+ca+；（Ⅱ）求证：．参考答案：【考点】不等式的证明．【专题】证明题；整体思想；综合法；作差法；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）作差法化简1﹣2（2ab+bc+ca+）=（a+b+c）2﹣（4ab+2bc+2ca+c2），从而证明；（Ⅱ）易知+b≥2a，+b≥2c，+c≥2b，+c≥2a，+a≥2c，+a≥2b；从而证明．【解答】证明：（Ⅰ）∵1﹣2（2ab+bc+ca+）=（a+b+c）2﹣（4ab+2bc+2ca+c2）=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，∴2（2ab+bc+ca+）≤1，∴2ab+bc+ca+；（Ⅱ）∵+b≥2a，+b≥2c，+c≥2b，+c≥2a，+a≥2c，+a≥2b；∴+b++b++c++c++a++a≥4（a+b+c），即+++2（a+b+c）≥4（a+b+c），故++≥2．【点评】本题考查不等式的证明方法的应用，应用了作差法．21.设函数f(x)=x3－x2+ax，a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）已知函数g(x)=f(x)－ax2+，若g（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围；（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x1，x2，试讨论过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线能否过点（1，1），若能，求a的值；若不能，说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）f′（x）=x2﹣x+a，由x=2是f（x）的极值点，可得f′（2）=0，解得a=﹣2．代入f′（x）进而得出单调性．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．对a与1的大小关系分类讨论可得a的取值范围．（III）不能，原因如下：设f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=x2﹣x+a有两个不同的零点．△＞0，解得a＜，且x1，x2，为方程x2﹣x+a=0的两根．则﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，可得f（x1）=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线方程为：y=x+a．进而判断出结论．【解答】解：（I），a∈R．f′（x）=x2﹣x+a，∵x=2是f（x）的极值点，∴f′（2）=4﹣2+a=0，解得a=﹣2．代入f′（x）=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣1，或x=2．令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴f（x）在x∈（﹣∞，﹣1），（2，+∞）时单调递增；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2，∴f（x）在x∈（﹣1，2）时单调递减．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．①当a≥1时，x∈（0，1）时，g′（x）＞0恒成立，g（x）单调递增，又g（0）=＞0，因此此时函数g（x）在区间（0，1）内没有零点．②当0＜a＜1时，x∈（0，a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（a，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（0）=＞0，因此要使函数g（x）在区间（0，1）内有零点．必有g（1）＜0，∴（1+a）+a+＜0，解得a＜﹣1．舍去．③当a≤0时，x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（0）=＞0，因此要使函数g（x）在区间（0，1）内有零点．必有g（1）＜0，解得a＜﹣1．满足条件．综上可得：a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．（III）不能，原因如下：设f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=x2﹣x+a有两个不同的零点．∴△=1﹣4a＞0，解得a＜，且x1，x2，为方程x2﹣x+a=0的两根．则﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，∴f（x1）=﹣+ax1=﹣+ax1=+=﹣（x1﹣a）+=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线方程为：y=x+a．若上述直线过点（1，1），则：1=+a．解得a=．上述已知得出：若f（x）有两个极值点x