上海建平世纪中学2021年高一数学理联考试题含解析

上海建平世纪中学2021年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{x|4＜x＜5}是有限集．其中正确的说法是（） A． 只有（1）和（4） B． 只有（2）和（3） C． 只有（2） D． 以上四种说法都不对参考答案：C考点： 集合的包含关系判断及应用；集合的表示法．分析： （1）0不是集合，{0}表示集合，故（1）不成立；（2）由集合中元素的无序性知（2）正确；（3）由集合中元素的互异性知（3）不正确；（4）集合{x|4＜x＜5}是无限集，故（4）不正确．解答： （1）0不是集合，{0}表示集合，故（1）不成立；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}，由集合中元素的无序性知（2）正确；（3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}，由集合中元素的互异性知（3）不正确；（4）集合{x|4＜x＜5}是无限集，故（4）不正确．故选C．点评： 本题考查集合的表示法，解题时要认真审题，注意集合中元素的互异性和无序性的合理运用．2.函数y=cos（2x﹣）的单调减区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z） B．[kπ+，kπ+]，（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]，（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]，（k∈Z）参考答案：C【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】利用余弦函数的单调递减区间，可得结论．【解答】解：由2x﹣∈[2kπ，2kπ+π]，可得x∈[kπ+，kπ+]，（k∈Z），∴函数y=cos（2x﹣）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．故选C．3.cos210°的值为（）A．B．C．D．参考答案：D4.函数的单调递增区间是（

）． A． B． C． D．参考答案：D解：∵，∴，又函数是由及复合而成，易知在定义域上单调递减，而函数在单调递增，在单调递减，根据复合函数的单调性的法则知，函数的单调递增区间是．故选．5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，，则（

）A.200 B.210 C.400 D.410参考答案：B【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前项和公式的应用求出结果。【详解】由题，，又因为所以当时，可解的当时，，与相减得当为奇数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，当为偶数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，所以当为正整数时，，则故选B.【点睛】本题考查的知识点有数列通项公式的求法及应用，等差数列的前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于一般题。6.若则目标函数的取值范围是

(

)A．[2，6]

B．[2，5]

C．[3，6]

D．[3，5]参考答案：A7.函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a=（）A． B．2 C．4 D．参考答案：B【考点】指数函数单调性的应用．【分析】由y=ax的单调性，可得其在x=0和1时，取得最值，即a0+a1=3，又有a0=1，可得a1=2，解即可得到答案．【解答】解：根据题意，由y=ax的单调性，可知其在[0，1]上是单调函数，即当x=0和1时，取得最值，即a0+a1=3，再根据其图象，可得a0=1，则a1=2，即a=2，故选B．8.（5分）方程lg|x|=cosx根的个数为（） A． 10 B． 8 C． 6 D． 4参考答案：C考点： 根的存在性及根的个数判断．专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．分析： 作函数y=lg|x|与y=cosx的图象，由方程的根与函数的零点的关系求方程的根的个数即可．解答： 作函数y=lg|x|与y=cosx的图象如下，函数y=lg|x|与y=cosx的图象有6个交点，故方程lg|x|=cosx根的个数为6；故选：C．点评： 本题考查了学生作图的能力及数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．9.已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，若l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1，则m，n的值分别为(

)A．2，7

B．0，8C．－1，2

D．0，－8参考答案：B10.在△ABC中，已知a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是，则△ABC的面积是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的三个内角所对的边分别是，且，则

．参考答案：略12.已知，，则___________．参考答案：5【分析】利用求的值.【详解】．故答案为：5

13.函数的图象必过定点

．参考答案：14.sin215°﹣cos215°=．参考答案：﹣【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式化简所给的式子可得结果．【解答】解：，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．15.定义在N＋上的函数f(x)，满足f(1)＝1，且f(n+1)=则f(22)=

．参考答案：16.已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，则cos2α=．参考答案：﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α﹣β）和cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos2α=cos[（α+β）+（α﹣β）]的值．【解答】解：∵＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，∵sin（α+β）=﹣，∴cos（α+β）=﹣=﹣，则cos2α=cos[（α+β）+（α﹣β）]=cos（α+β）cos（α﹣β）﹣sin（α﹣β）sin（α﹣β）=﹣?﹣?（﹣）=，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．17.设函数为奇函数，当时，，则当时，的解析式为

．参考答案：f(x)=-2-x+1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,b,c,设S为△ABC的面积，满足。（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求的最大值。参考答案：19.是定义在(－1,1)上的函数（1）判断函数的奇偶性；（2）利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数.参考答案：解：（1）因为定义域为(－1,1)，∴是奇函数（2）设为(－1,1)内任意两个实数，且，则又因为，所以，所以即所以函数在(－1,1)上是增函数.20.（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为，且图象上一个最低点为M（，﹣2）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当x∈[，]时，求f（x）的值域．参考答案：【考点】正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由周期求得ω，由最低点的坐标结合五点法作图求得A及φ的值，可得函数f（x）的解析式．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）当x∈[，]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由图象与x轴相邻两个交点间的距离为，==，∴ω=2，再根据图象上一个最低点为M（，﹣2），可得A=2，2×+φ=，φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；（Ⅲ）当x∈[，]时，≤2x+≤，∴sin（2x+）∈[﹣1，2]，故函数的值域为[﹣1，2]．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．21.已知函数，（1）求不等式的解集；（2）记f(x)在[0,a]上最大值为g(a)，若，求正实数a的取值范围.参考答案：（1）(－∞,3)（2）(0,2)本题考查分段函数综合问题。（1）由题意知，，①当时，令，解得：；②当时，令，解得：，综上所述，；（2）①当时，令，解得：；②当时，令，解得：，故：时，，故正实数a的取值范围为：(0,2)。22.(普通班做)如图，在三棱锥中，平面，，，D为BC的中点．（1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由；（2）若三棱锥的体积为，且为

钝角，求二面角的平面角的正切值；（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A到平面SBC的距离．参考答案：普通班：解：（1）因为SB在底面