上海市浦东新区洋泾中学南校2021年高一数学理月考试卷含解析

上海市浦东新区洋泾中学南校2021年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若x=1是函数f（x）=+b（a≠0）的一个零点，则函数h（x）=ax2+bx的零点是（）A．0或﹣1 B．0或﹣2 C．0或1 D．0或2参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】由已知可得a+b=0，令h（x）=ax2+bx=x（ax+b）=0，可得答案．【解答】解：∵x=1是函数f（x）=+b（a≠0）的一个零点，∴a+b=0，令h（x）=ax2+bx=x（ax+b）=0，则x=0，或x=1，故函数h（x）=ax2+bx的零点是0或1，故选：C2.与角－终边相同的角是 （）(A) (B)

(C)

(D)参考答案：C略3.不等式的解集为（）．A．(1,+∞) B．(－∞,－2) C．(－2,1) D．(－∞,－2)∪(1,+∞)参考答案：C，∴．故选：．4.定义在上的函数满足且时，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.若函数的图象过第一二三象限，则有（

）A．

B．,

C．,

D．参考答案：B6.已知向量，则的夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由题意，向量，所以且，所以，故选B.

7.已知角，则角是(

)A．第一象限角

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角参考答案：A8.设，，，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c参考答案：A9.如果关于x的方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0有两实数根α，β，则α+β的取值范围为(

)A．α+β≥ B．α+β≤ C．α+β≥1 D．α+β≤1参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】如果关于x的方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0有两实数根α，β，则△=4（1﹣m）2﹣4m2≥0，解出m的范围，结合韦达定理，可得答案．【解答】解：如果关于x的方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0有两实数根α，β，则△=4（1﹣m）2﹣4m2≥0，解得：m≤，则α+β=2（1﹣m）≥1，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，一元二次方程根与系数的关系，难度中档．10.已知等差数列满足，则有

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域是，值域是，则的取值范围是

参考答案：12.已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B?A，则实数m=．参考答案：1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，若B?A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B?A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B?A满足题意．故答案为：113.已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，若，则的最小值为

.参考答案：9略14.若函数，则时的值为

参考答案：略15.设等比数列{an}满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________．参考答案：-8设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：，由可得：，代入①可得，由等比数列的通项公式可得.【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.16.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为

。参考答案：略17.已知正方体外接球的体积是，那么此正方体的棱长等于．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长．【解答】解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于，故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在中，分别为角的对边，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设的值.参考答案：解：（Ⅰ）由

…………2分由b2=ac及正弦定理得

…………3分于是

…………5分（Ⅱ）由

…………7分

由余弦定理

b2=a2+c2－2accosB

得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.

…………9分

…………10分略19.(本题满分12分)定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）若，判断在区间上的单调性（不必证明），并求上界的最小值；（3）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.参考答案：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，得，而当时不合题意，故

（2）由（1）得：，函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的上界的最小值为2.（3）由题意知，在上恒成立.，.在上恒成立.设，，，由得设,,所以在上递减，显然在上递增，在上的最大值为，在上的最小值为

.所以实数的取值范围为。略20.(本小题满分12分)已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意的，恒成立，试求实数的取值范围.参考答案：（1）当时，,设，则由，则，，所以，可知在上是增函数，最小值为（2）在区间上，恒成立等价于恒成立设，，则ks5u可知其在上为增函数，当时，

故。21.（12分）已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，有f（x）＜0，且f（1）=﹣2（1）求f（0）及f（﹣1）的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）求解不等式f（2x）﹣f（x2+3x）＜4．参考答案：考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；一元二次不等式的解法．专题： 计算题；证明题；函数的性质及应用．分析： （1）令x=y=0求f（0）=0；再令x=﹣y=1得f（0）=f（1）+f（﹣1）；从而求解；（2）可判断函数f（x）是R上的减函数，利用定义证明；（3）由（2）知，f（2x）﹣f（x2+3x）＜4可化为f（2x﹣x2﹣3x）＜f（﹣2）；从而得x2+x﹣2＜0，从而解得．解答： （1）令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）；故f（0）=0；令x=﹣y=1得，f（0）=f（1）+f（﹣1）；故f（﹣1）=f（0）﹣f（1）=2；（2）函数f（x）是R上的减函数，证明如下，令x=﹣y得，f（0）=f（x）+f（﹣x）；故f（x）=﹣f（﹣x）；任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f（x1﹣x2）=﹣f（x2﹣x1），故由f（x2﹣x1）＜0知，﹣f（x2﹣x1）＞0，从而得f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）是R上的减函数；（3）由（2）知，f（2x）﹣f（x2+3x）＜4可化为f（2x﹣x2﹣3x）＜f（﹣2）；故x2+x﹣2＜0，解得，x∈（﹣2，1）．点评： 本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．22.（本题满分12分)在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为

nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2nmile的C处有一艘缉私艇奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间。(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便)参考答案：解：设缉私艇追上走私船需t小时

则BD=10tnm