上海市民办东光明中学2023年高三数学理月考试题含解析

上海市民办东光明中学2023年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列等式正确的是A.

B.

C.

D.

参考答案：D2.展开式中项的系数为A． B． C． D．参考答案：A3.设D为△ABC所在平面内一点，，则(

)A． B．C． D．参考答案：A【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．4.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象,若的一个对称中心是，则的一个可能取值是（A）

（B）

（C）（D）参考答案：D5.在△中，“”是“”的

(

▲)（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：C略6.定义在上的奇函数满足，且在区间[0,2]上递增，则()A．B．C．D．参考答案：C7.如图所示y=sin（ωx+φ）的图象可以由y=sinωx的图象沿x轴经怎样的平移得到的（）A．沿x轴向左平移个单位 B．沿x轴向左平移个单位C．沿x轴向右平移个单位 D．沿x轴向右平移个单位参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：如图所示，∵﹣=，故y=sin（ωx+φ）的图象可以由y=sinωx的图象沿x轴向左平移个单位得到的，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.下列函数为奇函数的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为(

)A．10 B．5 C．﹣1 D．参考答案：D【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，由此求得切线的斜率值，再根据x=1求得切点的坐标，最后结合直线的方程求出切线在x轴上的截距即得．【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，∴f′（1）=7，即切线的斜率为7，又f（1）=10，故切点坐标（1，10），∴切线的方程为：y﹣10=7（x﹣1），当y=0时，x=﹣，切线在x轴上的截距为﹣，故选D．【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线方程的概念、直线在坐标轴上的截距等基础知识，属于基础题．10.集合，，则等于

A．

B．

C．

D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，三边a、b、c成等差数列，且B=，则cosA－cosC的值为

．参考答案：12.已知平面区域内有一个圆，向该区域内随机投点，将点落在圆内的概率最大时的圆记为⊙M，此时的概率P为____________．

参考答案：略13.复数的虚部是。参考答案：－114.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是

．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比，由已知求得，代入的展开式后得答案．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a5+2a10=0，得，∵a1≠0，∴．则===．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题．15.已知a，b均为正数且acos2θ+bsin2θ≤6，则cos2θ+sin2θ的最大值为_________．参考答案：略16.（选修4—1：几何证明选讲）如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连结BC并延长交圆O于点D，则CD=

．参考答案：

17.设的一条对称轴为，则sin=___________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位：ACC1A1）：甲地区的10个村子饮用水中砷的含量：52

32

41

72

43

35

45

61

53

44乙地区的10个村子饮用水中砷的含量：44

56

38

61

72

57

64

71

58

62（Ⅰ）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；（Ⅱ）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X表示派驻的医疗小组数，试写出X的分布列并求X的期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I）法1：求出甲地区调查数据的平均数为，乙地区调查数据的平均数为，推出乙地区的饮用水中砷含量更高．法2：利用茎叶图可直接推出结果，乙地区的引用水中砷含量更高．（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：得到X的分布列，求出期望．【解答】解：（I）法1：设甲地区调查数据的平均数为，；设乙地区调查数据的平均数为，．由以上计算结果可得，因此可以看出乙地区的饮用水中砷含量更高．法2：从茎叶图可以看出，甲地区的调查结果中有80%的叶集中在茎“3”“4”“5”，而乙地区有80%的叶集中在茎“5”“6”“7”，因此乙地区的引用水中砷含量更高…（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：X的分布列为…

X0123P∵…【点评】本题考查茎叶图以及离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力．19.已知函数

，且函数与的图像关于直线对称，又，

.1）求的表达式及值域;2）问是否存在实数m，使得命题

和满足复合命题且为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案：20.解1）由，可得，故，由于在上递减，所以的值域为

（2）在上递减，故真

且

；

又即，故真，

故存在满足复合命题且为真命题。

略20.如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．参考答案：解：（1）连结，如图，∵、分别是、的中点，是矩形，∴四边形是平行四边形，∴．

--------2分∵平面，平面，∴平面．-------------------6分（2）解法1

连结，∵正方形的边长为2，，∴，，，则，∴．

--------------------------------------------------------8分又∵在长方体中，，，且，∴平面，又平面，∴，又，

∴平面，即为三棱锥的高．----------10分∵，∴．--------------------------------12分解法2：三棱锥是长方体割去三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥后所得，而三棱锥、、、是等底等高，故其体积相等．．

略21.甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．

（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件A，求事件A发生的概率；（2）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望．参考答案：（1）

………4分（2）随机变量X的取值为0，10，20，