上海市月浦中学2022年高一数学理测试题含解析

上海市月浦中学2022年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线过点M（1，2），N（4，2+），则此直线的倾角为(

) A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：A考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用两点的坐标，求出直线的斜率，从而求出该直线的倾斜角．解答： 解：∵直线过点M（1，2），N（4，2+），∴该直线的斜率为k==，即tanα=，α∈[0°，180°）；∴该直线的倾斜角为α=30°．故选：A．点评：本题考查了利用两点的坐标求直线的斜率与倾斜角的应用问题，是基础题目．2.已知函数f（x）=ax﹣1（a＞0，且a≠1），当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第二象限，则a的取值范围是（）A．（1，+∞） B． C．（1，3] D．（1，5]参考答案：D【考点】指数函数的图象变换．【分析】对a分类讨论：利用指数函数的单调性可得a＞1．由于函数g（x）=ax+1﹣5的图象不过第二象限，可得g（0）≤0，求解即可得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）=ax﹣1＞0；当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）=ax﹣1＜0，舍去．故a＞1．∵函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第二象限，∴g（0）=a1﹣5≤0，∴a≤5，∴a的取值范围是（1，5]．故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了数学转化思想方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．3.m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，有下列四个命题：①若②若③若④若其中正确命题的序号是（

）

A.①③

B.①②

C.③④ D.②③参考答案：D①若错误，m可能与平行、相交或在平面内；②若正确；③若正确；④若，错误，平面可能平行，可能相交，所以m不一定垂直。4.已知为第二象限角，，则

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略5.已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是A． B．（–∞，0] C．[1，+∞） D．R参考答案：A6.等比数列中，，则（

）A．4

B．8

C．16

D．32参考答案：C略7.5分）点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（） A． B． C． D． 参考答案：B考点： 空间两点间的距离公式．专题： 计算题．分析： 根据点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，得到点B与点A的纵标和竖标相同，而横标为0，写出点B的坐标，根据两点之间的距离公式，得到结果．解答： ∵点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，∴点B与点A的纵标和竖标相同，而横标为0，∴B的坐标是（0，2，3）∴|OB|==，故选B．点评： 本题考查空间两点之间的距离公式，考查点的正投影，是一个基础题，注意在运算过程中不要出错，本题若出现是一个送分题目．

8.一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为(

)A．

B．

C．1

D．

参考答案：A9.若函数的图像（部分）如图所示，则和的取值分别为

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C10.设平面向量，，若，则（

）A. B. C.4 D.5参考答案：B由题意得，解得，则，所以，故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将一幅斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD=BD=，∠BAC=30°，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是

.①当平面ABD⊥平面ABC时，C、D两点间的距离为；②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD；③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D－ABC体积的最大值为.参考答案：①③12.是平面上不共线三点，向量，，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量．若，，则的值是____ ____．参考答案：解析：如图,是线段AB的垂直平分线，，，，

13.设函数，区间M=[a，b]（其中a＜b）集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有个．参考答案：3【考点】函数的表示方法．【分析】先对解析式去绝对值写成分段函数，在每一段上考虑即可．【解答】解：由题意知，当x≥0时，令M=[0，1]验证满足条件，又因为x＞1时，f（x）=＜x

故不存在这样的区间．当x≤0时，令M=[﹣1，0]验证满足条件．又因为x＜﹣1时，f（x）=＞x

故不存在这样的区间．又当M=[﹣1.1]时满足条件．故答案为：3．14.对于下列命题：①

函数的图象关于点

对称；②

的单调增区间为；③

已知点N、P在所在平面内，且，则N、P依次是的重心、垂心；④

已知向量，且，则三点一定共线。以上命题成立的序号是__________________.参考答案：①③④.15.若a＞0，b＞0，化简成指数幂的形式：=．参考答案：【考点】有理数指数幂的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用有理指数幂的运算法则求解即可．【解答】解：==．故答案为：．【点评】本题考查有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力、16.已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为

．参考答案：6【考点】7F：基本不等式；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程求出x，y满足的方程；利用基本不等式得到函数的最值，检验等号何时取得．【解答】解：由已知⊥?=0?（x﹣1，2）?（4，y）=0?2x+y=2则9x+3y=，当且仅当32x=3y，即时取得等号．故答案为：617.（5分）已知函数，若f（m）=2，则f（﹣m）=

．参考答案：﹣2考点： 正弦函数的奇偶性．专题： 计算题．分析： 运用函数奇偶性的定义可得f（﹣x）=﹣f（x），从而可得f（﹣m）=﹣f（m），从而求出f（m）+f（﹣m）的值，即可求出f（﹣m）的值解答： 因为f（x）=f（﹣x）==﹣（）=﹣f（x）∴f（﹣m）=﹣f（m），f（m）=2即f（m）+f（﹣m）=0∴f（﹣m）=﹣2故答案为：﹣2．点评： 本题首先利用构造方法构造新的函数，然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，用整体思想求解出f（m）+f（﹣m）为一定值，解题时要注意整体思想的运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的部分图象如图所示，B，C分别是图象的最低点和最高点，.（1）求函数f(x)的解析式；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间.参考答案：(1)由图象可得：，所以的周期.于是，得，又，∴∴，又将代入得，，所以，即，由得，，∴.（2）将函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为：，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为，由，得,，,∴函数的单调递增区间为.19.分别求出适合下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点a＞2，t=2且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离．参考答案：【考点】直线的一般式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，解出即可；（Ⅱ）先求出直线的交点坐标，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出斜率k即可．【解答】解：（Ⅰ）当直线不过原点时，设所求直线方程为+=1，将（﹣3，2）代入所设方程，解得a=，此时，直线方程为x+2y﹣1=0．当直线过原点时，斜率k=﹣，直线方程为y=﹣x，即2x+3y=0，综上可知，所求直线方程为x+2y﹣1=0或2x+3y=0．…（Ⅱ）有解得交点坐标为（1，），当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y﹣=k（x﹣1），即7kx﹣7y+（2﹣7k）=0，由A、B两点到直线l的距离相等得，解得k=，当斜率k不存在时，即直线平行于y轴，方程为x=1时也满足条件．所以直线l的方程是21x﹣28y﹣13=0或x=1．…【点评】本题考察了求直线方程问题，考察点到直线的距离公式，是一道中档题．20.设数列{an}的前n项和为Sn，.（1）求数列{an}的通项公式；（2）令，求数列的前n项和Tn.参考答案：（1），①当时，，即，当时，，②由①-②可得，即，∴，当时，，满足上式，∴（2）由（1）得，∴∴21.已知函数，，，．（1）设，函数的定义域为[3,63]，求的最值；（2）求使不等式成立的x的取值范围．参考答案：解：（1），定义域为[3,63]时，取值范围是[4,64]，则取值范围是[2,6]，最小值为2，最大值为6．（2）不等式可化为，即且，时，，且，则；时，，且，则．综上，时的取值范围是(－1,0)；时，的取值范围是(0,1)．

22.（本题16分）为了让“AEPC蓝”持续下去，北京市某研究所经研究发现：在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系式