上海市松江区教师进修学院附属立达中学2021年高二数学文联考试题含解析

上海市松江区教师进修学院附属立达中学2021年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，且满足，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知满足，则的最小值为

(

)A．1

B．

C．

D．参考答案：B3.若直线的倾斜角为，则(

)

A．等于

B．等于

C．等于

D．不存在参考答案：C略4.已知命题p：?x∈R，x+≥2；命题q：?x0∈[0，]，使sinx0+cosx0=，则下列命题中为真命题的是（）A．p∨（￢q） B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】判断两个命题的真假，然后利用复合命题的真假判断选项即可．【解答】解：对于命题p：当x≤0时，x+≥2不成立，∴命题p是假命题，则￢p是真命题；对于命题q：sinx+cosx=sin（x+）∈[1，]，则q是真命题，所以（￢p）∧q．故选：D．5.已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D6.已知双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，则双曲线离心率为（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，可得c=5，=，结合c2=a2+b2，即可求出双曲线离心率．【解答】解：∵双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，∴c=5，=，c2=a2+b2解得：a=4，b=3，e=故选：D7.设函数，则（

）A.为的极大值点

B.为的极小值点C.为的极大值点

D.为的极小值点[学参考答案：D略8.已知某种产品的支出广告额x与利润额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x34567y2030304060则回归直线方程必过（）A．（5，36） B．（5，35） C．（5，30） D．（4，30）参考答案：A【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标即可．【解答】解：由题意可知回归直线方程必过样本中心坐标（，），即（5，36）．故选：A．9.记，当时，观察下列等式：，，，可以推测A-B等于（

）A． B． C． D．参考答案：C略10.函数的部分图像可能是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．参考答案：412.过点的直线，与圆相较于A、B两点，则________________。参考答案：13.设点P是双曲线上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值时，则点P的坐标是

．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意算出双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=．连结PF，过P作右准线的垂线，垂足为M，由双曲线第二定义得|PM|=|PF|，从而得出|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，利用平面几何知识可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值．由此利用双曲线的方程加以计算，可得满足条件的点P的坐标．【解答】解：∵双曲线中，a=1，b=，∴c=2，可得双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=，设右准线为l，过P作PM⊥l于M点，连结PF，由双曲线的第二定义，可得|PM|=|PF|．∴|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，运动点P，可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值．此时经过P、A、M三点的直线与x轴平行，设P（m，2），代入双曲线方程得m=，得点P（，2）．∴满足使4|PA|+2|PF|=4（|PA|+|PF|）有最小值的点P坐标为．故答案为：．【点评】本题给出定点A与双曲线上的动点P，求4|PA|+2|PF|有最小值时点P的坐标．着重考查了双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．14.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是

；参考答案：略15.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．参考答案：y2＝3x

略16.圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是（．参考答案：其它正确答案同样给分）考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：由题意圆心在，半径为1的圆，利用直角坐标方程，先求得其直角坐标方程，间接求出所求圆的方程．解答：解：由题意可知，圆心在的直角坐标为（，），半径为1．得其直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1，即x2+y2=x+y所以所求圆的极坐标方程是：ρ2=?．故答案为：．点评：本题是基础题，考查极坐标方程的求法，考查数形结合，计算能力．17.已知i是虚数单位，且，则__________．参考答案：由题意可得：.

14.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，将极坐标方程化为直角坐标方程是__________．【答案】【解析】【分析】利用极坐标化为直角坐标的转化公式求解.【详解】因为，所以由于，所以可得.【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的转化，熟记转化公式是求解关键，一般直角坐标化为极坐标利用公式可得，利用公式及点的位置可得；极坐标化为直角坐标时一般利用来实现.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆过点。（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆相交于M，N两点，且线段MN的中点为，求直线l的方程.参考答案：（1）由题得（2）设，则由，两式相减，得，于是，故即因为点在椭圆内部，所以所求的直线满足题意19.现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b.假设，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a，b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.参考答案：存在，选择3号和4号容器.【分析】分别计算出四个容器的体积，可求得，从而得到必胜方案，即选择3号和4号容器.【详解】1号容器体积为：；2号容器体积为：；3号容器体积为：；4号容器体积为：存在必胜方案，即选择3号和4号容器【点睛】本题考查与棱柱体积有关的计算问题，关键是能够进行因式分解得到恒大于零的式子，从而得到所求方案.

20.2000年我国人口为13亿，如果人口每年的自然增长率为7‰，那么多少年后我国人口将达到15亿？设计一个算法的程序.参考答案：A=13R=0.007i=1DO

A=A*（1+R）

i=i+1

LOOP

UNTIL

A＞=15

i=i－1PRINT

“达到或超过15亿人口需要的年数为：”；iEND21.（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=（I）证明AD平面PAB；（II）求异面直线PC与AD所成的角正切值；（III）求二面角P―BD―A的大小的正切值。参考答案：解：（Ⅰ）证明：在中，由题设可得于是.在矩形中，.又，所以平面.

（Ⅱ）证明：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为.（Ⅲ）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE因为平面，平面，所以.又，因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，，从而是二面角的平面角。由题设可得，于是再中，所以二面角的大小为．略22.已知函数（a为实数）．（I）讨论函数的单调性；（II）若在上的恒成立，求a的范围；参考答案：（I）见解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)求得函数的导数令，解得或，根据根的大小三种情况分类讨论，即可求解．（II）依题意有在上的恒成立，转化为在上的恒成立，设，，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解．【详解】(Ⅰ)由题意，函数，则令，解得或，①当时，有，有，故在上单调递增；②当时，有，随的变化情况如下表：极大极小

由上表可知在和上单调递增，在上单调递减；③同②当时，有，有和上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（II）依题意有在上的恒成立，即在上的恒成立，故在上的恒