上海市朱泾中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

上海市朱泾中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（

）A．升 B．升 C．升 D．升参考答案：D2.函数的图象大致是（

）参考答案：D3.函数的最小正周期为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：因为，所以函数的最小正周期是，故选A．考点：1、同角三角函数的基本关系；2、辅助角公式；3、三角函数的最小正周期．4.如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个(

)A.116

B.128

C.215

D.98参考答案：A略5.已知是等比数列，，则公比=（

）A

B

C

2

D

参考答案：D6.函数的图像可能是（

）参考答案：C7.已知偶函数在上满足：当且时，总有，则不等式的解集为

．参考答案：试题分析：由可得当时.即,当时总有.根据函数单调性的定义可知函数在上单调递减;因为函数为偶函数,图像关于轴对称,可知函数在上单调递增.所以.即所求解集为.考点：1函数单调性的定义;2函数的奇偶性.8.在极坐标系中，圆C1:与圆C2:相交于A，B两点，则｜AB｜＝A．1B．C．D．2参考答案：B【知识点】圆与圆的位置关系【试题解析】化圆为标准方程，

两圆方程作差，得相交弦AB所在直线方程为：

圆的圆心为（1，0），半径为1．

所以圆心到直线AB的距离为：

所以弦长的一半为：即弦长为：。

故答案为：B3.已知向量,，如果向量与垂直，则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：C10.双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是（

）A．

B．

C.2

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的方差是3，则的标准差为

▲

．参考答案：设的方差为，则的方差为4=3，则标准差=.12.在的展开式中，常数项是

．参考答案：-813.若方程的解为，则不小于的最小整数是

.

参考答案：14.已知偶函数在单调递减，则满足的实数的取值范围是

▲

．参考答案：（-1，0）∪（0，1）略15.设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是

．①若，则或.②若，则或.③若，则或与相交.④若，则或.参考答案：(2)16.方程组的增广矩阵是__________________.参考答案：根据增广矩阵的定义可知方程组的增广矩阵为。17.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知为正项等比数列，,为等差数列的前项和，.（I）求和的通项公式；（II）设，求.参考答案：（I）

………………2分

又

………………4分

（II）………………8分

相减得………………12分19.（14分）已知函数.（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：．参考答案：（Ⅰ）由得，所以． 由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．

-----3分

（Ⅱ）由可知是偶函数． 于是对任意成立等价于对任意成立． 由得． ①当时，． 此时在上单调递增． 故，符合题意． ②当时，． 当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．

-----5分

（Ⅲ），，，

由此得，故．

-----5分20.（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．参考答案：考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式．分析：（1）由条件a≠b推出：a2﹣2ab+b2＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论；（2）利用基本不等式，再相加，即可证明结论．解答： 证明：（1）∵a≠b，∴a﹣b≠0，∴a2﹣2ab+b2＞0，∴a2﹣ab+b2＞ab．而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）∴a3+b3＞a2b+ab2成立；（2）∵a，b，c都是正数，∴a2b2+b2c2≥2acb2，a2b2+c2a2≥2bca2，c2a2+b2c2≥2abc2，三式相加可得2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2abc（a+b+c），∴a2b2+b2c2+c2a2）≥abc（a+b+c），∴≥abc．点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查综合法，属于中档题．21.（10分）函数是定义在(－1,1)上的奇函数，且.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.参考答案：∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,1＋x12＞0,1＋x22＞0.又－1＜x1x2＜1，∴1－x1x2＞0∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．

…………7分

(3)f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜.

…………10分

22.已知中，角的对边分别为，且的面积，（1）求的取值范