上海市少云中学2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析

上海市少云中学2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则=

（

）

A．（1，3）

B．[1，3]

C．{1，3}

D．{1，2，3}参考答案：D略2.具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①；②；③其中满足“倒负”变换的函数是（

）A．①②

B．①③

C．②③

D．①参考答案：B

数；③设,则时,,此时;时,,此时时,,此时是满足“倒负”变换的函数，故选B.考点：1、函数及分段函数的解析式；2、“新定义”问题.【方法点睛】本题通过新定义满足“倒负”变换的函数主要考查函数分段函数的解析式、“新定义”问题，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题五个函数的判断都围绕满足“倒负”变换的函数具有“”这一重要性质进行的，只要能正确运用这一性质，问题就能迎刃而解.3.已知命题：，，则 （

） A、：， B、：， C、：， D、：，参考答案：B4.已知函数是奇函数，当时，则的值等于（

）A．

C．

D．-参考答案：D5.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射。已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出：如图所示，椭圆与双曲线有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k（k∈N*）次反射后回到左焦点所经过的路径长为（

）A．k（a＋m）

B．2k（a＋m）

C．k（a－m）

D．2k（a－m）参考答案：D略6.复数Z=，在复平面内，Z所对应的点在（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：B7.已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是(

)A．a＞b﹣1B．a＞b+1C．|a|＞|b|D．2a＞2b参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：欲求a＞b成立的必要而不充分的条件，即选择一个“a＞b”能推出的条件，但反之不能推出的条件，对选项逐一分析即可．解答： 解：“a＞b”能推出“a＞b﹣1”，故选项A是“a＞b”的必要条件，但“a＞b﹣1”不能推出“a＞b”，不是充分条件，满足题意；“a＞b”不能推出“a＞b+1”，故选项B不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“2a＞2b”，且“2a＞2b”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意；故选A．点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是理解必要而不充分的条件，属于基础题．8.如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=，AD：BC：AB=2:3:4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．在翻折过程中，可能成立的结论是 （

）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④参考答案：B略9.已知i为虚数单位，则复数=(

) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答： 解：=，故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题．10.抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（） A． B． C． 1 D． 参考答案：考点： 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．解答： 解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B点评： 本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金，第3关收税金，第4关收税金，第5关收税金，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关，”则第8关需收税金为x．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金．【解答】解：第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金：x，即x．故答案为：．【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.若曲线在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则＝________.参考答案：13._________.参考答案：[0，4）略14.若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k的值为________．参考答案：-1略15.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是(

)

A、

B、C、

D、参考答案：C16.过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，直线F1E交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 参考答案：C略17.若将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.数列{an}是首项a1=4的等比数列，sn为其前n项和，且S3，S2，S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log2|an|，设Tn为数列{}的前n项和，求证Tn＜．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）设等比数列{an}的公比为q，先看当q=1时，S3，S2，S4不成等差数列，不符合题意，判断出q≠1，进而根据等比数列求和公式表示出S3，S2，S4，根据等差中项的性质建立等式，求得q，则数列{an}的通项公式可得．（Ⅱ）把（1）中的an代入bn=，进而利用裂项法求得前n项的和，根据．原式得证．【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q．当q=1时，S3=12，S2=8，S4=16，不成等差数列∴q≠1，2S2=S3+S4，∴，即q4+q3﹣2q2=0．∵q≠0，q≠1，∴q=﹣2，∴an=4（﹣2）n﹣1=（﹣2）n+1（Ⅱ）bn=log2|an|=log2|（﹣2）n+1|=n+1，∴∴，∴．【点评】本题主要考查了数列的求和．应熟练掌握常用的数列求和的方法，如公式法，错位相减法，裂项法等．19.

(12分)已知函数.(1)求的表达式;(2)判断的单调性;(3)若对于区间上的每一个x的值,不等式恒成立,求m的取值范围.参考答案：解析：(1)由,得,即,于是.又时,∈(0,1),所以∈(0,1).∴.(2)由于是上的增函数,且,所以是上的增函数,从而是(0,1)上的减函数.(3)即为,亦即在上恒成立.∴解得20.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=3Sn－2(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn.参考答案：(Ⅰ)当时,,解得；……1分当时,,,两式相减得,…3分化简得,所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以.…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,所以,………6分[错位相减法]

…8分两式相减得…9分,…11分所以数列的前项和.…12分[裂项相消法]因为……………9分所以……………12分21.（本小题满分12）已知数列的前n项和

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)证明：数列是一个等比数列。

(Ⅲ)求的通项公式。参考答案：解：（Ⅰ）因为

所以a1=2,

=2.

……2分

由

2an=Sn+2n

=.

得

所以

……4分

（Ⅱ）由题设和①式知