上海市卢湾区陕西中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析

上海市卢湾区陕西中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），若（2+）⊥，则||=（）A．9 B．3 C． D．3参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直关系推出等式，求出x，然后求解向量的模．【解答】既然：向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），2+=（1，x﹣8），（2+）⊥，可得：1+8﹣x=0，解得x=9．则||==3．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，向量的模的求法，考查计算能力．2.已知函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e） B．（﹣∞，e] C． D．参考答案：D【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】由题意可知f（x）=﹣g（x）有解，即y=lnx与y=ax有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a的范围．【解答】解：函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，∴f（x）=﹣g（x）有解，∴lnx﹣x3=﹣x3+ax，∴lnx=ax，在（0，+∞）有解，分别设y=lnx，y=ax，若y=ax为y=lnx的切线，∴y′=，设切点为（x0，y0），∴a=，ax0=lnx0，∴x0=e，∴a=，结合图象可知，a≤故选：D．3.已知函数满足,且，则不等式的解集为（

）参考答案：B略4.函数f（x）=3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）=f（x），则φ的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件可得f（x）为偶函数，故有﹣+φ=kπ+，由此求得φ的值．【解答】解：函数f（x）=3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）=f（x），∴f（x）为偶函数，故有﹣+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z．当k=0时，φ=，故选：C．5.集合，则

A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是(

)A．动点在平面上的射影在线段上B．恒有平面⊥平面C．三棱锥的体积有最大值D．异面直线与不可能垂直参考答案：D7.已知过抛物线焦点的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则的值不可能为（

）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：A【分析】设出，，利用抛物线的常用结论，得到，进而得到，再利用基本不等式中“1”的代换的方法，得出，最后得到，进而求出答案【详解】作图如下：可以作出下图，由图可得，可设，，则，，，，根据抛物线的常用结论，有，，则，又，得，则值不可能为3，答案选A【点睛】本题考查抛物线的常用结论的应用，以及基本不等式的问题，属于综合题，解题的难点在于把的取值范围转化为基本不等式问题，属于难题8.设全集U=，集合,集合，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.下列函数中，定义域是R且为增函数的是(

)A．

B．

C．

D．||参考答案：B略10.由9个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列三个判断正确的有……（

）①第2列必成等比数列②第1列不一定成等比数列③

（A）3个

（B）2个

（C）1个

（D）0个参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列五个命题中，正确的命题的序号是_____________.①函数的图象的对称中心是；②在上连续，；③函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到；④在上的导数；⑤函数的递减区间是.

参考答案：略12.已知点在圆直径的延长线上，切圆于点，的平分线分别交、于点、.则的度数=

.

参考答案：13.命题的否定为__________.

参考答案：略14.设为定义在上的奇函数，当时，，则

参考答案：-415.一条斜率为2的直线过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F且与抛物线交于A，B两点，A，B在y轴上的射影分别为D，C，若梯形ABCD的面积为，则p=__________．参考答案：所以则所以所以所以.16.已知全集，，，则

．

参考答案：17.个正整数排列如下：

1，2，3，4，……，n

2，3，4，5，……，n+l

3，4，5，6，……，

n+2

……

n，n+l，n+2，n+3，……，2n一1

则这个正整数的和S=

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=，E是棱PD的中点．（Ⅰ）若，求证：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求的值，使二面角P—CD—A的平面角最小．

参考答案：当时，∵,．∴．又平面，∴．∴平面．又平面，∴．又，是棱的中点，∴．∴平面．

（Ⅱ）（本小题8分）如图，建立空间直角坐标系，则，，，．∴、．设平面的法向量为，则取，得．又易知平面的法向量为．设二面角的平面角为，则要使最小，则最大，即，∴

，得

略19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程及参数a，b，c之间的关系即可求出；（2）（i）利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；（ii）利用直线的点斜式及其（i）的有关结论即可证明．解答： 解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a2=b2+1．消去a可得，2b4﹣5b2﹣3=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，∴椭圆E的方程为．（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则，，∵A，P，M三点共线，∴，∴，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴，故为定值．（ⅱ）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，则直线m的方程为，====，即．所以直线m过定点（﹣1，0）．点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．20.（本小题满分12分）已知平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cos，sin）

（I）若（）2=7（O为坐标原点），求向量与夹角的大小；

（Ⅱ）若，求sin2的值．参考答案：略21.如图所示的五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD,,,AB∥CD，，∠DAB=60°，AB=AD=4．（Ⅰ）求四棱锥E-ABCD的体积；（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅲ）设点M为线段BC上的动点，求证：EM与AM不垂直．参考答案：（I）（II）见解析（III）见解析【分析】（Ⅰ）取AD中点N，连接EN．可得EN⊥AD．由平面ADE⊥平面ABCD，利用面面垂直的性质可得EN⊥平面ABCD．再由已知求得梯形ABCD得面积，代入棱锥体积公式求解；（Ⅱ）由AB∥CD，得CD∥平面ABFE．进一步得到CD∥EF．再由线面平行的判定可得EF∥平面ABCD；（Ⅲ）连接MN，假设EM⊥AM．结合（Ⅰ）利用反证法证明EM与AM不垂直．【详解】（Ⅰ）取AD中点，连接．在中，，所以.因为平面平面，平面平面，平面ADE,所以平面．又因为，，所以.因为∥，，，所以.所以.

（Ⅱ）因为∥，平面，平面，所以∥平面．又因为平面，平面平面，所以∥．因为平面，平面，所以∥平面．（Ⅲ）连接，假设.由（Ⅰ）知平面，因为平面,所以．因为,且，

所以平面．因为平面，所以．在△中，，所以.所以．这与矛盾．所以假设不成立，即与不垂直．【点睛】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．22.如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°，点E在BD上，且CE=DE．（Ⅰ）求证：AB⊥CE；（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由已知得∠CDB=30°，∠DCE=30°，∠BCE=90°，从而EC⊥BC，由平面ABC⊥平面BCD，得EC⊥平面ABC，由此能证明EC⊥AB．（Ⅱ）取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量和平面BCD的法向量，由此利用向量法能注出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°，∵EC=DE，∴∠DCE=30°，∠BCE=90°，∴EC⊥BC，又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC与平面BCD的交线为BC，∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．（Ⅱ）解：取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，∵AC=AB，∴AO⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中点，F是BE中点，∴OF⊥BC，以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设DE