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文档简介
江西省吉安市涧田中学2022年高一数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.(5分)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是() A. ①是棱台 B. ②是圆台 C. ③是棱锥 D. ④不是棱柱参考答案:C考点: 棱台的结构特征.专题: 计算题;空间位置关系与距离.分析: 利用几何体的结构特征进行分析判断,能够求出结果.解答: 图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台;图②上、下两个面不平行,所以②不是圆台;图③是棱锥.图④前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以④是棱柱.故选C.点评: 本题考查几何体的结构特征,解题时要认真审题,注意熟练掌握基本概念.2.下列四组函数中表示同一函数的是(
)A.,
B.C.,
D.,参考答案:C3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,已知△ABC的面积,,则a的值为(
)A. B. C. D.参考答案:B【分析】变形,结合可得,求出,由三角形的面积可得,再根据正弦定理可得结果.【详解】由得,由正弦定理,得,由,由,又根据正弦定理,得,故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下几种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.
4.函数的定义域为
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A5.函数的单调减区间是(
)
A.R
B.
C.
D.
参考答案:D6.如果奇函数在上是减函数且最小值是5,那么在上是A.增函数且最小值是
B.增函数且最大值是.C.减函数且最小值是
D.减函数且最大值是参考答案:D7.(9)如图长方体中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C1—BD—C的大小为(
)A.30°
B.45°C.60°
D.90°
参考答案:A略8.下列命题中,正确的命题的个数是
(
)
a.若角α在第二象限,且sinα=,cosα=,则tanα=
b.无论α为何角,都有sin2α+cos2α=1
c.总存在一个角α,使得sinα+cosα=1
d.总存在一个角α,使得sinα=cosα=A.0个
B.1个
C.2个
D.3个参考答案:C略9.下列四个结论中,正确的是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:B略10.
(
)A.
B. C. D.
参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数为幂函数,则__________.参考答案:16【分析】根据幂函数定义求出m的值,写出的解析式,即可计算的值.【详解】由题意,函数为幂函数,,解得,,,故答案为:16.【点睛】本题考查了幂函数的定义,及幂函数的求值问题,其中解答中熟记幂函数的定义,用定义求得幂函数的解析式是解答本题的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.12.已知,,则的值为____________。
参考答案:5略13.设全集,集合,,那么等于
.参考答案:14.函数的图象过定点P,则点P的坐标为______.参考答案:(2,4)当x=2时,f(2)=a2﹣2+3=a0+3=4,∴函数f(x)=ax﹣2+3的图象一定经过定点(2,4).故答案为(2,4).
15.已知集合,那么集合
。参考答案:16.在一个数列中,如果对任意的,都有(为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且,公积为8,则
.参考答案:28由题意得,数列是等积为8的等积数列,且,∴,即,∴.同理可得,……∴数列是周期为3的数列,∴.
17.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,则的最大值为__________。参考答案:由已知及正弦定理,得,即,,从而,当时,取最大值,故答案为.
三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f(t),求函数f(t)的表达式.参考答案:解:由图,当0<t≤1时,此时满足条件图形为以t为底,以t为高的三角形∴当t>2时,此时满足条件图形为△OAB∴当1<t≤2时,此时满足条件图形为△OAB减一个以(2﹣t)为底,以(2﹣t)为高的三角形所得的四边形∴综上可得考点:函数解析式的求解及常用方法.专题:应用题.分析:由于△OAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的形状在t取不同值时,形状不同,故可以分当0<t≤1时(此时满足条件的图形为三角形)和当1<t≤2时(此时满足条件的图形为四边形)及t>2时(此时满足条件的图形为三角形OAB)三种情况进行分类讨论,最后综合讨论结果,即可得到函数f(t)的表达式.解答:解:由图,当0<t≤1时,此时满足条件图形为以t为底,以t为高的三角形∴当t>2时,此时满足条件图形为△OAB∴当1<t≤2时,此时满足条件图形为△OAB减一个以(2﹣t)为底,以(2﹣t)为高的三角形所得的四边形∴综上可得点评:本题考查的知识点是分段函数的求法,其中根据已知中的图形,合理的设置分类标准是解答本题的关键19.(10分)某汽车厂生产的A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适性和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆)
轿车A轿车B轿车C舒适性800450200标准型100150300(Ⅰ)在这个月生产的轿车中,用分层抽样的方法抽取n辆,其中有A类轿车45辆,求n的值;(Ⅱ)在C类轿车中,用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少1辆舒适性轿车的概率;(Ⅲ)用随机抽样的方法从A类舒适性轿车中抽取10辆,经检测它们的得分如下:,8.7,9.3,8.2,9.4,8.6,9.2,9.6,9.0,8.4,8.6,把这10辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.参考答案:(Ⅰ)由题意得,轿车的总数为800+100+450+150+200+300=2000,,解得n=100,(Ⅱ)设听取的样本中有m辆舒适型轿车,则,解得m=2,也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为P=,(Ⅲ)总体平均数为=(8.7+9.3+8.2+9.4+8.6+9.2+9.6+9.0+8.4+8.6)=8.9,那么与,故该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率20.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足.(1)(i)求数列{an}的通项公式;(ii)已知对于,不等式恒成立,求实数M的最小值;(2)数列{bn}的前n项和为Tn,满足,是否存在非零实数,使得数列{bn}为等比数列?并说明理由.参考答案:(1)()()(2)见解析【分析】(1)()由知,作差求得,得到数列为等差数列,求得.()由等差数列前n项和公式得到,对取倒,得到,裂项相消求得,从而得到M的最小值.(Ⅱ)由()可知,所以得到,求解数列得到,检验,所以不存在.【详解】解:(1)()时,,又,当时,.作差整理得:,,数列的等差数列,.()由()知,,不等式恒成立,,实数的最小值是.(2)由,知,,当时,,当时,,,数列是等比数列,,,与矛盾,不存在非零实数,使得数列为等比数列.【点睛】本题考查数列求通项公式知求,考查数列裂项相消求和,考查等比数列的证明,考查了学生的计算能力,属于中档题.21.(本小题满分12分)已知函数,.(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;(2)若,x0,求cos2x0的值.参考答案:解:(1)由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1,得f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin,...........(2分)所以函数f(x)的最小正周期为π............(3分)所以函数f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-1............(6分)(2)由(1)可知f(x0)=2sin又因为f(x0)=,所以sin=.由x0∈,得2x0+∈...........(8分)从而cos==-............(10分)所以cos2x0=cos=coscos+sinsin=............(12分)
22.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cosB=(Ⅰ)若
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