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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行如图所示的程序框图若输入,则输出的的值为()A. B. C. D.2.已知函数,,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.3.已知函数,为的零点,为图象的对称轴,且在区间上单调,则的最大值是()A. B. C. D.4.若直线与曲线相切,则()A.3 B. C.2 D.5.已知是函数图象上的一点,过作圆的两条切线,切点分别为,则的最小值为()A. B. C.0 D.6.如图所示,已知双曲线的右焦点为,双曲线的右支上一点,它关于原点的对称点为,满足,且,则双曲线的离心率是().A. B. C. D.7.若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是()A. B.C. D.8.已知是定义是上的奇函数,满足,当时,,则函数在区间上的零点个数是()A.3 B.5 C.7 D.99.若,则的虚部是()A. B. C. D.10.已知函数的部分图象如图所示,则()A. B. C. D.11.集合的真子集的个数为()A.7 B.8 C.31 D.3212.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第天长高尺,芜草第天长高尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:,)A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在三棱锥中,,三角形为等边三角形,二面角的余弦值为,当三棱锥的体积最大值为时,三棱锥的外接球的表面积为______.14.已知双曲线的左焦点为,、为双曲线上关于原点对称的两点,的中点为,的中点为,的中点为,若,且直线的斜率为,则__________,双曲线的离心率为__________.15.已知、为正实数,直线截圆所得的弦长为,则的最小值为__________.16.若幂函数的图象经过点,则其单调递减区间为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点,(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由.18.(12分)如图1,已知四边形BCDE为直角梯形,,,且,A为BE的中点将沿AD折到位置如图,连结PC,PB构成一个四棱锥.(Ⅰ)求证;(Ⅱ)若平面.①求二面角的大小;②在棱PC上存在点M,满足,使得直线AM与平面PBC所成的角为,求的值.19.(12分)已知双曲线及直线.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是原点,且,求实数k的值.20.(12分)(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)证明:();(Ⅲ)证明:.21.(12分)已知函数,.(1)判断函数在区间上的零点的个数;(2)记函数在区间上的两个极值点分别为、,求证:.22.(10分)已知函数(1)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围;(2)若函数对恒成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

由程序语言依次计算,直到时输出即可【详解】程序的运行过程为当n=2时,时,,此时输出.故选:C【点睛】本题考查由程序框图计算输出结果,属于基础题2.B【解析】

可判断函数在上单调递增,且,所以.【详解】在上单调递增,且,所以.故选:B【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定,指数函数与对数函数的性质,利用单调性比大小等知识,考查了学生的运算求解能力.3.B【解析】

由题意可得,且,故有①,再根据,求得②,由①②可得的最大值,检验的这个值满足条件.【详解】解:函数,,为的零点,为图象的对称轴,,且,、,,即为奇数①.在,单调,,②.由①②可得的最大值为1.当时,由为图象的对称轴,可得,,故有,,满足为的零点,同时也满足满足在上单调,故为的最大值,故选:B.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征,正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,属于中档题.4.A【解析】

设切点为,对求导,得到,从而得到切线的斜率,结合直线方程的点斜式化简得切线方程,联立方程组,求得结果.【详解】设切点为,∵,∴由①得,代入②得,则,,故选A.【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,直线方程的点斜式,属于简单题目.5.C【解析】

先画出函数图像和圆,可知,若设,则,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若设圆的圆心为,则,所以只要取得最小值,若设,则,然后构造函数,利用导数求其最小值即可.【详解】记圆的圆心为,设,则,设,记,则,令,因为在上单调递增,且,所以当时,;当时,,则在上单调递减,在上单调递增,所以,即,所以(当时等号成立).故选:C【点睛】此题考查的是两个向量的数量积的最小值,利用了导数求解,考查了转化思想和运算能力,属于难题.6.C【解析】

易得,,又,平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C的左焦点为E,易得为平行四边形,所以,又,故,,,所以,即,故离心率为.故选:C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题,关键是建立的方程或不等关系,是一道中档题.7.C【解析】

由题可知,设函数,,根据导数求出的极值点,得出单调性,根据在区间内的解集中有且仅有三个整数,转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数,结合图象,可求出实数的取值范围.【详解】设函数,,因为,所以,或,因为时,,或时,,,其图象如下:当时,至多一个整数根;当时,在内的解集中仅有三个整数,只需,,所以.故选:C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题,还涉及利用导数求函数单调性和函数图象,同时考查数形结合思想和解题能力.8.D【解析】

根据是定义是上的奇函数,满足,可得函数的周期为3,再由奇函数的性质结合已知可得,利用周期性可得函数在区间上的零点个数.【详解】∵是定义是上的奇函数,满足,,可得,

函数的周期为3,

∵当时,,

令,则,解得或1,

又∵函数是定义域为的奇函数,

∴在区间上,有.

由,取,得,得,

∴.

又∵函数是周期为3的周期函数,

∴方程=0在区间上的解有共9个,

故选D.【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断,考查抽象函数周期性的应用,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属于中档题.9.D【解析】

通过复数的乘除运算法则化简求解复数为:的形式,即可得到复数的虚部.【详解】由题可知,所以的虚部是1.故选:D.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,属于基础题.10.A【解析】

先利用最高点纵坐标求出A,再根据求出周期,再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.【详解】由图象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),将代入得φ)=1,∴φ,结合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故选:A.【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.11.A【解析】

计算,再计算真子集个数得到答案.【详解】,故真子集个数为:.故选:.【点睛】本题考查了集合的真子集个数,意在考查学生的计算能力.12.C【解析】

由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度,进而可得:,解出即可得出.【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为据题意得:,解得2n=12,∴n21.故选:C.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角的平面角,再设出的长,即可求出三棱锥的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥的外接球的表面积.【详解】如图所示:过点作面,垂足为,过点作交于点,连接.则为二面角的平面角的补角,即有.∵易证面,∴,而三角形为等边三角形,∴为的中点.设,.∴.故三棱锥的体积为当且仅当时,,即.∴三点共线.设三棱锥的外接球的球心为,半径为.过点作于,∴四边形为矩形.则,,,在中,,解得.三棱锥的外接球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.14.【解析】

设,,根据中点坐标公式可得坐标,利用可得到点坐标所满足的方程,结合直线斜率可求得,进而求得;将点坐标代入双曲线方程,结合焦点坐标可求得,进而得到离心率.【详解】左焦点为,双曲线的半焦距.设,,,,,,即,,即,又直线斜率为,即,,,,在双曲线上,,即,结合可解得:,,离心率.故答案为:;.【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题,涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题;关键是能够通过设点的方式,结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.15.【解析】

先根据弦长,半径,弦心距之间的关系列式求得,代入整理得,利用基本不等式求得最值.【详解】解:圆的圆心为,则到直线的距离为,由直线截圆所得的弦长为可得,整理得,解得或(舍去),令,又,当且仅当时,等号成立,则.故答案为:.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,考核基本不等式求最值,关键是对目标式进行变形,变成能用基本不等式求最值的形式,也可用换元法进行变形,是中档题.16.【解析】

利用待定系数法求出幂函数的解析式,再求出的单调递减区间.【详解】解:幂函数的图象经过点,则,解得;所以,其中;所以的单调递减区间为.故答案为:.【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】试题分析:(1)因为椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.考点:本题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,圆与椭圆的位置关系.点评:中档题,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往要利用韦达定理.存在性问题,往往从假设存在出发,运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备.(2)小题解答中,集合韦达定理,应用平面向量知识证明了圆的存在性.18.Ⅰ详见解析;Ⅱ①,②或.【解析】

Ⅰ可以通过已知证明出平面PAB,这样就可以证明出;Ⅱ以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,可以求出相应点的坐标,求出平面PBC的法向量为、平面PCD的法向量,利用空间向量的数量积,求出二面角的大小;求出平面PBC的法向量,利用线面角的公式求出的值.【详解】证明:Ⅰ在图1中,,,为平行四边形,,,,当沿AD折起时,,,即,,又,平面PAB,又平面PAB,.解:Ⅱ以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,由于平面ABCD则0,,0,,1,,0,,1,1,,1,,0,,设平面PBC的法向量为y,,则,取,得0,,设平面PCD的法向量b,,则,取,得1,,设二面角的大小为,可知为钝角,则,.二面角的大小为.设AM与面PBC所成角为,0,,1,,,,平面PBC的法向量0,,直线AM与平面PBC所成的角为,,解得或.【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直,考查了利用向量数量积,求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.19.(1);(2)或.【解析】

(1)联立直线方程与双曲线方程,消去,得到关于的一元二次方程,根据根的判别式,即可求出结论;(2)设,由(1)可得关系,再由直线l过点,可得,进而建立关于的方程,求解即可.【详解】(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的实数根,整理得,,解得且.双曲线C与直线l有两个不同交点时,k的取值范围是.(2)设交点,直线l与y轴交于点,,.,即,整理得,解得或或.又,或时,的面积为.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算,要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题,考查计算求解能力,属于中档题.20.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析【解析】

运用数学归纳法证明即可得到结果化简,运用累加法得出结果运用放缩法和累加法进行求证【详解】(Ⅰ)数学归纳法证明时,①当时,成立;②当时,假设成立,则时所以时,成立综上①②可知,时,(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【点睛】本题考查了数列的综合,运用数学归纳法证明不等式的成立,结合已知条件进行化简求出化简后的结果,利用放缩法求出不等式,然后两边同时取对数再进行证明,本题较为困难。21.(1);(2)见解析.【解析】

(1)利用导数分析函数在区间上的单调性与极值,结合零点存在定理可得出结论;(2)设函数的极大值点和极小值点分别为、,由(1)知,,且满足,

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