广东省揭阳市玉湖中学2022年度高二数学理月考试题含解析

广东省揭阳市玉湖中学2022年度高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有一个长方体容器,装的水恰好占其容积的一半；表示水平的桌面,容器一边紧贴桌面，沿将其翻转使之倾斜，最后水面(阴影部分)与其各侧棱的交点分别是（如图），设翻转后容器中的水形成的几何体是，翻转过程中水和容器接触面积为,则下列说法正确的是

（

）A．是棱柱，逐渐增大

B．是棱柱，始终不变C．是棱台，逐渐增大D．是棱台，始终不变参考答案：B2.若,则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.数列中，如果(n＝1，2，3，…)，那么这个数列是

(

)A．公差为2的等差数列

B．公差为3的等差数列C．首项为3的等比数列

D．首项为1的等比数列参考答案：B4.函数的单调递增区间是 (

)A.

B.(0,3)

C.(1,4)

D.

参考答案：D略5.观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为参考答案：

A略6.如图，在长方体中，点分别是棱上的动点，,直线与平面所成的角为30°，则的面积的最小值是（

）A．

B．8

C.

D．10

参考答案：B以C为原点，以CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则C（0，0，0），设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3．设平面PQC′的一个法向量为则令z=1，得a2b2≥2ab，解得ab≥8．

∴当ab=8时，S△PQC=4，棱锥C′-PQC的体积最小，

∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2∵VC′-PQC=VC-PQC′，故选B

7.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为(）A．y=±2x

B．y= C． D．参考答案：B8.若数列{an}满足,则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,则b4·b6的最大值是()A.10 B.100 C.200 D.400参考答案：B9.如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知=，=，=，则用向量，，可表示向量为(

)A．++ B．﹣++ C．﹣+ D．﹣+﹣参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用；空间向量及应用．【分析】利用空间向量的平行六面体法则即可得出．【解答】解：===﹣．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的平行六面体法则，属于基础题．10.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数则

▲

。参考答案：012.如图，在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为，点是线段OA上一点（异于端点），均为非零实数．直线BP、CP分别交AC、AB于点E，F．一同学已正确地求出直线的方程为，请你完成直线的方程：

．

参考答案：（1/c-1/b）13.若椭圆+=1的离心率为，则实数k的值为．参考答案：5或12【考点】双曲线的简单性质．【分析】椭圆+=1的离心率为，=或=，即可求出实数k的值．【解答】解：∵椭圆+=1的离心率为，∴=或=，∴k=5或12，故答案为：5或12．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．14.一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是_______．参考答案：方法一：基本事件全体Ω＝{男男，男女，女男，女女}，记事件A为“有一个女孩”，则P(A)＝，记事件B为“另一个是男孩”，则AB就是事件“一个男孩一个女孩”，P(AB)＝，故在已知这个家庭有一个是女孩的条件下，另一个是男孩的概率P(B|A)＝＝.方法二：记有一个女孩的基本事件的全体Ω′＝{男女，女男，女女}，则另一个是男孩含有基本事件2个，故这个概率是.15.袋内有8个白球和2个红球，每次从随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为

.参考答案：解析：第4次恰好取完所有红球的概率为16.已知函数的单调递减区间是（-3，1），则的值是

.参考答案：略17.已知曲线的极坐标方程分别为和,设点在曲线上，点在上，则的最小值为

..参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积.参考答案：(1)直线l的普通方程为x＋y－4＝0.曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)4【分析】（1）将直线l参数方程中的消去，即可得直线l的普通方程，对曲线C的极坐标方程两边同时乘以，利用可得曲线C的直角坐标方程；（2）求出点到直线的距离，再求出的弦长，从而得出△MON的面积．【详解】解：(1)由题意有，得，x＋y＝4，直线l的普通方程为x＋y－4＝0.因为ρ＝4sin所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，两边同时乘以得，ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，因为，所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，∴曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)∵原点O到直线l的距离直线l过圆C的圆心(，1)，∴|MN|＝2r＝4，所以△MON的面积S＝|MN|×d＝4.【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，解题的关键是正确使用这一转化公式，还考查了直线与圆的位置关系等知识.19.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为：.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当到直线l的距离最大时，求.参考答案：（1）；（2）16.【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20.数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．（1）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设Cn=（n∈N*），求证Cn+1＜Cn．参考答案：【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）①利用，及等比数列的通项公式即可得出an；②利用等差数列的通项公式即可得出bn；（2）由即可得到cn+1＜cn；利用二项式定理可得3n=（1+2）n≥3n，即可证明．【解答】解：（1）①当n≥2时，由an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，得an+1﹣an=2an，即an+1=3an．由a1=1，∴a2=2a1+1=3=3a1．∵a1=1≠0，∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．∴．②等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．设公差为d，则，解得．∴bn=﹣3+（n﹣1）×3=3n﹣6．（2）由（1）可得=．∴=cn．∵3n=（1+2）n=…+2n≥3n，∴．21.（本小题共15分）已知．（1）求函数的图像在处的切线方程；

(2)设实数，求函数在上的最大值.

参考答案：（1）定义域为

又………4分

函数的在处的切线方程为：，即

………7分

（2）令得

当，，单调递减，…ks5u当，，单调递增．………10分在上的最大值

当时，

当时，，

………15分22.已知A、B、C为