2022年江苏省常州市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022年江苏省常州市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设y1、y2是二阶常系数线性齐次方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，C1、C2为两个任意常数，则下列命题中正确的是A.A.C1y1+C2y2为该方程的通解

B.C1y1+C2y2不可能是该方程的通解

C.C1y1+C2y2为该方程的解

D.C1y1+C2y2不是该方程的解

2.

3.A.A.e2/3

B.e

C.e3/2

D.e6

4.设()．A.A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与a有关D.上述三个结论都不正确

5.

6.

7.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

8.

9.

10.平面π1：x－2y＋3z＋1＝0，π2：2x＋y＋2＝0的位置关系为（）．A.A.垂直B.斜交C.平行D.重合11.A.1B.0C.2D.1/212.A.A.

B.

C.

D.

13.

14.平面的位置关系为()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合

15.

16.A.A.1

B.

C.m

D.m2

17.

18.

19.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

20.设函数y=(2+x)3，则y'=

A.(2+x)2

B.3(2+x)2

C.(2+x)4

D.3(2+x)4

二、填空题(20题)21.

22.过点(1，-1，0)且与直线平行的直线方程为______。

23.

24.

25.二阶常系数线性微分方程y-4y＋4y=0的通解为__________．

26.27.28.y=ln(1+x2)的单调增加区间为______．

29.

30.设函数f(x)有一阶连续导数，则∫f'(x)dx=_________。

31.32.已知当x→0时，-1与x2是等价无穷小，则a=________。33.

sint2dt=________。

34.

35.曲线y=1-x-x3的拐点是__________。

36.37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.

42.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．43.44.证明：45.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

47.

48.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．49.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．50.51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

52.

53.求曲线在点(1，3)处的切线方程．54.

55.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

56.57.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．58.求微分方程的通解．59.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

60.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.

65.

66.判定y=x-sinx在[0，2π]上的单调性。

67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.平面x+y一3z+1=0与平面2x+y+z=0相互关系是()。

A.斜交B.垂直C.平行D.重合六、解答题(0题)72.

参考答案

1.C

2.B

3.D

4.D

5.A

6.D

7.C

8.D解析：un、vn可能为任意数值，因此正项级数的比较判别法不能成立，可知应选D。

9.C解析：

10.A本题考查的知识点为两平面的关系．

两平面的关系可由两平面的法向量n1，n2间的关系确定．

11.C

12.D本题考查的知识点为偏导数的计算．

13.D

14.A本题考查的知识点为两平面的关系。两平面的关系可由两平面的法向量，n1，n2间的关系确定。若n1⊥n2，则两平面必定垂直．若时，两平面平行；

当时，两平面重合。若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，应选A。

15.D解析：

16.D本题考查的知识点为重要极限公式或等价无穷小量代换．

解法1

解法2

17.A

18.A

19.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性。

20.B本题考查了复合函数求导的知识点。因为y=(2+x)3，所以y'=3(2+x)2·(2+x)'=3(2+x)2.

21.22.本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系。由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

23.

24.

本题考查的知识点为隐函数的微分．

解法1将所给表达式两端关于x求导，可得

从而

解法2将所给表达式两端微分，

25.26.3(x－1)－(y＋2)＋z＝0(或3x-y＋z＝5)．

本题考查的知识点为平面与直线的方程．

由题设条件可知应该利用点法式方程来确定所求平面方程．

所给直线z的方向向量s＝(3，－1，1)．若所求平面π垂直于直线1，则平面π的法向量n∥s，不妨取n＝s＝(3，－1，1)．则由平面的点法式方程可知

3(x－1)－[y－(－2)]＋(z－0)＝0，

即3(x－1)－(y＋2)＋z＝0

为所求平面方程．

或写为3x-y＋z－5＝0．

上述两个结果都正确，前者3(x－1)－(y＋2)＋z＝0称为平面的点法式方程，而后者3x-y＋z－5＝0

称为平面的－般式方程．

27.28.(0，+∞)本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性．

由于y=ln(1+x2)，其定义域为(-∞，+∞)．

又由于，令y'=0得唯一驻点x=0．

当x＞0时，总有y'＞0，从而y单调增加．

可知y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0，+∞)．

29.0

30.f(x)+C

31.32.当x→0时，-1与x2等价，应满足所以当a=2时是等价的。

33.

34.

35.(01)

36.37.由可变上限积分求导公式可知

38.1/61/6解析：

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.由等价无穷小量的定义可知

46.

47.

48.

列表：

说明

49.函数的定义域为

注意

50.

51.

52.

则

53.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

54.由一阶线性微分方程通解公式有

55.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

56.

57.

58.59.由二重积分物理意义知

60.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

61.

62.

63.

64.

65.

66.因为在[02π]内y'=1-cosx≥0可知在[02π]上y=x-