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山西省吕梁市孝义兑镇中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若变量满足约束条件,,则取最小值时,

二项展开式中的常数(

A.

B.

C.

D.参考答案:A2.双曲线中,被点P(2,1)平分的弦所在的直线方程为(

)A、

B、

C、

D、不存在参考答案:答案:D

错解:A

错因:没有检验出与双曲线无交点。3.四大名著是中国文学史上的经典作品,是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中,甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》(每种名著至少有5本),若每人只借阅一本名著,则不同的借阅方案种数为(

)A. B. C. D.参考答案:A【分析】通过分析每人有4种借阅可能,即可得到答案.【详解】对于甲来说,有4种借阅可能,同理每人都有4种借阅可能,根据乘法原理,故共有种可能,答案为A.【点睛】本题主要考查乘法分步原理,难度不大.4.下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=B.y=﹣x2+1C..y=2xD.y=lg|x+1|参考答案:D【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断;函数的图象.【分析】根据题意,结合常见的基本初等函数的图象与性质,对选项中的函数进行判断即可.【解答】解:对于A,函数y=的图象是中心对称图形,不是轴对称图形,∴不满足题意;对于B,函数y=﹣x2+1的图象是轴对称图形,在区间(0,+∞)上是单调减函数,∴不满足题意;对于C,函数y=2x的图象不是轴对称图形,∴不满足题意;对于D,函数y=lg|x+1|的图象是关于直线x=﹣1对称的图形,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,满足题意.故选:D.5.的展开式中的系数是(

A.

B.

C.3

D.4

参考答案:B6.在三棱锥的条棱所在直线中,异面直线共有(

)A.对

B.对

C.对

D.对参考答案:C7.抛物线y2=4x的焦点为F,点A(3,2),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为(

)A.4 B.5 C. D.参考答案:C【分析】求周长的最小值,即求的最小值,设点在准线上的射影为点,则根据抛物线的定义,可知,因此问题转化为求的最小值,根据平面几何知识,当、、三点共线时,最小,即可求出的最小值,得到答案。【详解】由抛物线为可得焦点坐标,准线方程为:,由题可知求周长的最小值,即求的最小值,设点在准线上的射影为点,则根据抛物线的定义,可知,因此求的最小值即求的最小值,根据平面几何知识,当、、三点共线时,最小,所以又因为,所以周长的最小值为,故答案选C【点睛】本题考查抛物线的定义,简单性质的应用,判断出、、三点共线时最小,是解题的关键,属于中档题。8.已知f(x)定义域为(0,+∞),f′(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<﹣xf′(x),则不等式f(x+1)>(x﹣1)f(x2﹣1)的解集是()A.(0,1) B.(1,+∞) C.(1,2) D.(2,+∞)参考答案:D【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.【分析】由题意构造函数g(x)=xf(x),再由导函数的符号判断出函数g(x)的单调性,不等式f(x+1)>(x﹣1)f(x2﹣1),构造为g(x+1)>g(x2﹣1),问题得以解决.【解答】解:设g(x)=xf(x),则g'(x)='=x'f(x)+xf'(x)=xf′(x)+f(x)<0,∴函数g(x)在(0,+∞)上是减函数,∵f(x+1)>(x﹣1)f(x2﹣1),x∈(0,+∞),∴(x+1)f(x+1)>(x+1)(x﹣1)f(x2﹣1),∴(x+1)f(x+1)>(x2﹣1)f(x2﹣1),∴g(x+1)>g(x2﹣1),∴x+1<x2﹣1,解得x>2.故选:D.【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性,利用函数的单调性的关系对不等式进行判断.9.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为(

)A.

B.

C.

D.参考答案:A略10.函数y=的定义域为()A.(﹣∞,2) B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞)参考答案:C【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据“让解析式有意义”的原则,对数的真数大于0,分母不等于0,建立不等式,解之即可.【解答】解:要使原函数有意义,则,解得:2<x<3,或x>3所以原函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).故选C.【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法,求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则,属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x,y使得x2+4y2﹣2x+8y+1=0,则x+2y的最小值等于.参考答案:﹣2﹣1【考点】三角函数的最值.【分析】将x2+4y2﹣2x+8y+1=9化简为(x﹣1)2+4(y+1)2=4,利用换元法,令,通过三角函数的有界性,求出最小值即可.【解答】解:由题意:x2+4y2﹣2x+8y+1=0,化简为(x﹣1)2+4(y+1)2=4,令,θ∈[0,2π).则:x=2cosθ+1,y=sinθ﹣1.所以:x+2y=2cosθ+1+2sinθ﹣2=2cosθ+2sinθ﹣1=2sin()﹣1∵sin()的最小值为﹣1,∴x+2y的最小值﹣2﹣1.故答案为:﹣2﹣1.12.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线:被该圆所截得的弦长为,则圆C的标准方程为

。参考答案:略13.如图,已知正方体的棱长为,长度为的线段MN的一个端点在上运动,另一端点在底面上运动,则的中点的轨迹(曲面)与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为______参考答案:略14.已知命题p:?x∈R,x2+x﹣1<0则命题¬p是.参考答案:?x∈R,x2+x﹣1≥0【考点】特称命题;命题的否定.【专题】阅读型.【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意,同时将结论,写出命题的否定.【解答】解:含逻辑连接词的否定是将存在变为任意,同时将结论否定故命题p:?x∈R,x2+x﹣1<0则命题¬p是?x∈R,x2+x﹣1≥0.故答案为:?x∈R,x2+x﹣1≥0.【点评】本题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式,属于基础题.15.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a4a12=36,则a6=

.参考答案:【考点】等比数列的通项公式.【专题】方程思想;数学模型法;等差数列与等比数列.【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解:∵公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a4a12=36,∴,化为=6,∴a1=.∴a6==.故答案为:.【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则__________.参考答案:4略17.函数的最小正周期是__________.参考答案:2【分析】直接利用余弦函数的周期公式求解即可.【详解】函数的最小正周期是:2.故答案为:2.【点睛】本题考查三角函数的周期的求法,是基本知识的考查.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(14分)已知函数,,.(Ⅰ)若曲线与曲线相交,且在交点处有相同的切线,求的值及该切线的方程;(Ⅱ)设函数,当存在最小值时,求其最小值的解析式;(Ⅲ)对(Ⅱ)中的,证明:当时,.ks5u参考答案:解:(Ⅰ)=,=(x>0),(1分)由已知得

得(3分)解得a=,x=e2,(5分)∴两曲线交点为,,切线方程为,即

(6分)(Ⅱ)由条件知

(i)当>0时,令解得,∴

当0<<时,,在(0,)上递减;当x>时,,在上递增.∴

是在上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是的最小值点.∴

最小值(ii)当时,在(0,+∞)上递增,无最小值。

故的最小值的解析式为

(10分)(Ⅲ)由(Ⅱ)知ks5u则,令解得.当时,,∴在上递增;ks5u当时,,∴在上递减.∴在处取得极大值ks5u∵在上有且只有一个极值点,所以也是的最大值.∴当时,总有

(14分)ks5u略19.在直角梯形PBCD中,,A为PD的中点,如下左图。将沿AB折到的位置,使,点E在SD上,且,如下右图。

(1)求证:平面ABCD;

(2)求二面角E—AC—D的余弦值;

(3)在线段BC上是否存在点F,使SF//平面EAC?若存在,确定F的位置,若不存在,请说明理由。参考答案:解法一:(1)证明:在图中,由题意可知, 为正方形, 所以在上右图中,, 四边形ABCD是边长为2的正方形, 因为,ABBC, 所以BC平面SAB,

(2分) 又平面SAB, 所以BCSA, 又SAAB, 所以SA平面ABCD,

(4分)

(2)在AD上取一点O,使,连接EO。 因为,所以EO//SA 所以EO平面ABCD, 过O作OHAC交AC于H,连接EH, 则AC平面EOH, 所以ACEH。 所以为二面角E—AC—D的平面角, 在中, ,, 即二面角E—AC—D的余弦值为

(10分)

(3)当F为BC中点时,SF//平面EAC, 理由如下:取BC的中点F,连接DF交AC于M, 连接EM,AD//FC, 所以,又由题意 SF//EM,又平面EAC, 所以SF//平面EAC,即当F为BC的中点时, SF//平面EAC

(14分) 解法二:(1)同方法一(4分)

(2)如图,以A为原点建立直角坐标系, A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2),E(0,) 易知平面ACD的法向为 设平面EAC的法向量为 由, 所以,可取 所以

(7分) 所以 即二面角E—AC—D的余弦值为

(10分)

(3)设存在, 所以SF//平面EAC, 设 所以,由SF//平面EAC, 所以,所以0, 即,即F(2,1,0)为BC的中点

(14分)20.已知P(x,y)为平面上的动点且x≥0,若P到y轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)设过点M(m,0)的直线交曲线C于A、B两点,问是否存在这样的实数m,使得以线段AB为直径的圆恒过原点.参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(Ⅰ)由题意得:,化简得:y2=4x(x≥0).求得P的轨迹方程.(Ⅱ)分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论,当斜率存在时,设直线AB方程为y=k(x﹣m),A(x1,y1),B(x2,y2),直线和抛物线联立方程求解.当斜率不存在时,m=0或m=4.成立.【解答】解:(Ⅰ)由题意得:,化简得:y2=4x(x≥0).∴点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)..(Ⅱ)①当斜率存在时,设直线AB方程为y=k(x﹣m),A(x1,y1),B(x2,y2),由,得ky2﹣4y﹣4km=0,∴,∵以线段AB为直径的圆恒过原点,∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.即m2﹣4m=0∴m=0或m=4.②当斜率不存在时,m=0或m=4.∴存在m=0或m=4,使得以线段AB为直径的圆恒过原点.【点评】本题主要考查轨迹方程的求解和直线与抛物线的综合应用,属于中档题,早高考中经常涉及21.已知椭圆C:+=1(a>b>0),过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L,与圆x2+y2=相切,且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)过点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点(其中O为坐标原点),求△OAB面积的最小值.参考答案:【考点】椭圆的简单性质.【分析】(Ⅰ)过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L为=1,即bx+ay﹣ab=0.由直线L与圆x2+y2=相切相切,可得=.由抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),可得c=1.即a2﹣b2=1,联立解出即可得出.(Ⅱ)当两射线与坐标轴重合时,S△OAB=.当两射线不与坐标轴重合时,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),与椭圆方程联立,消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0.因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.把根与系数的关系代入可得得7m2=12(k2+1),所以点O到直线AB的距离d==.因为OA⊥OB,所以OA2+OB2=AB2≥2OA?OB,当且仅当OA=OB时,取等号.由d?AB=OA?OB,得d?|AB|=|OA|?|OB|≤,即可得出.【解答】解:(Ⅰ)过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L为=1,即bx+ay﹣ab=0.由直线L与圆x2+y2=相切相切,得=.①…因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),所以c=1.…即a2﹣b2=1,代入①,得7a4﹣31a2+12=0,即(7a2﹣3)(a2﹣4)=0,解得a2=4,a2=(舍去).…所以b2=a2﹣1=3.故椭圆C的标准方程为=1.…(Ⅱ)当两射线与坐标轴重合时,S△OAB==.…当两射线不与坐标轴重合时,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),与椭圆方程联立,消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0.∴x1+x2=,x1?x2=.…因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.…∴(k2+1)﹣+m2=0.…整理,得7m2=12(k2+1),所以点O到直线AB的距离d===.…因为OA⊥OB,所以OA2+OB2=AB2≥2OA?OB,当且仅当OA=OB时,取等号.由d?AB=OA?OB,得d?|AB|=|OA|?|OB|≤,所以|AB|≥2d=,即弦AB的长度的最小值是.所以△OAB的最小面积为S△OAB=×=.综上,△OAB面积的最小值为.…22.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,

AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1

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