山西省临汾市曲沃县第二中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析

山西省临汾市曲沃县第二中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是两平面，a，b是两直线．下列说法正确的是（

）①若，则②若，则③若，则④若，，，，则A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④参考答案：D由平行公理知①对，由线面垂直的性质定理知②对，由线面垂直及面面平行定理知③对，由面面垂直性质定理知④对．2.若是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线，；②存在一个平面，；③存在两条平行直线∥∥；④存在两条异面直线∥∥．那么可以是∥的充分条件有（

）A．4个

B．3个

C．2个

D．1个参考答案：C3.“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+?）的图象重合”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．解答：解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+?）的图象重合”时，可取，k∈Z即可，故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+?）的图象重合”的充分不必要条件．故选A点评：本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．4.已知集合，，则A∩B=（

）A.(－1,4) B.(0,3] C.[3,4) D.(3,4)参考答案：C【分析】先求出集合A，B，由此能求出.【详解】由变形，得，解得或，∴或.又∵，∴.故选：C.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5.将函数y=sin（）的图像先向左平移，然后再将横坐标伸长为原来得2倍，则所对应图像的解析式为

A.y=-cosx

B.

y=sin4x

C.y=sinx

D.y=sin(x-)

参考答案：B6.已知函数，使则b-a的最小值为A.

B.

C.

D.参考答案：D令，则，从而构造函数，求导得，解得极值点因此b-a的最小值为h(1/2)=2+ln27.若函数的图象与轴有公共点,则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.已知函数，则关于函数的零点情况，下列说法中正确的是

A．当时，函数有且仅有一个零点． B．当或或或时，函数有两个零点． C．当或时，有三个零点． D．函数最多可能有四个零点．参考答案：C9.已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是

A．

B．C．D．参考答案：B略10.若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（

）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为

.参考答案：9略12.在中，，则= 参考答案：113.若∈，＝，则－的值是

．参考答案：14.（5分）若二项式（+2）n（n∈N*）的展开式中的第5项是常数项，则n=．参考答案：6【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：先求出二项式展开式的通项公式，再根据r=4时，x的幂指数等于0，求得n的值．解：二项式（+2）n（n∈N*）的展开式的通项公式为Tr+1=?2r?，由于第5项是常数项，可得﹣n=0，∴n=6，故答案为：6．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15.函数的单调递减区间是________________________．参考答案：(2，＋∞)略16.已知函数，则

．参考答案：617.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

．

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导，利用导数得出函数单调性；（2）对a进行分类：当a≤0时，f（x）递减，又知f（1）=0可得f（x）＞0（x∈（0，1）；当a＞0时，只需求f（x）max=f（a）=alna﹣a+1，让最大值小于等于零即可；（3）利用（2）的结论，对式子变形可得=＜=．【解答】解：（1）f'（x）=当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）递减；当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）递减，∵f（1）=0∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）max=f（a）=alna﹣a+1令g（a）=alna﹣a+1∴g'（a）=lna∴g（a）的最小值为g（1）=0∴alna﹣a+1≤0的解为a=1；（3）由（2）知：lnx＜x﹣1x＞1∵=＜=∴++…+＜++…+=．19.（12分）据某地气象部分统计，该地区每年最低气温在—2℃以下的概率为，设ξ为该地区从2005年到2010年最低气温在—2℃以下的年数。

（I）求ξ的期望和方差；

（II）求该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在—2℃以下的概率；

（III）求ξ=3，且在2007年首次遇到最低气温在—2℃以下的概率。参考答案：解析：（I）将每年的气温情况看做一次试验，则遇到最低气温在—2℃以下的概率为，且每次实验结果是相互独立的，故

…………2分

所以

…………4分

（II）该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在—2℃以下的事件A的对立事件为：6年都不遇到最低气温在—2℃以下，所以

…………8分

（III）设，且在2007年首次遇到最低气温在—2℃以下的事件B，则

…………12分20.设函数f（x）=﹣ax，e为自然对数的底数.（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）﹣a（x＞0，且x≠1），由题意可得f′（e2）=﹣a=，f（e2）==﹣，联立解得即可．（II）当b=1时，f（x）=，f′（x）=，由x∈[e，e2]，可得．由f′（x）+a==﹣+，可得[f′（x）+a]max=，x∈[e，e2]．存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立?x∈[e，e2]，f（x）min≤f（x）max+a=，对a分类讨论解出即可．【解答】解：（I）﹣a（x＞0，且x≠1），∵函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，∴f′（e2）=﹣a=，f（e2）==﹣，联立解得a=b=1．（II）当b=1时，f（x）=，f′（x）=，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]，．∴f′（x）+a==﹣+，∴[f′（x）+a]max=，x∈[e，e2]．存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立?x∈[e，e2]，f（x）min≤f（x）max+a=，①当a时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上为减函数，则f（x）min=，解得a≥．②当a时，由f′（x）=﹣a在[e，e2]上的值域为．（i）当﹣a≥0即a≤0时，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，因此f（x）在x∈[e，e2]上为增函数，∴f（x）min=f（e）=，不合题意，舍去．（ii）当﹣a＜0时，即时，由f′（x）的单调性和值域可知：存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）=0，且满足当x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．∴f（x）min=f（x0）=﹣ax0，x0∈（e，e2）．∴a≥，与矛盾．（或构造函数即可）．综上可得：a的最小值为．21.某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示.（Ⅰ）求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：（Ⅰ）由题意，可知，∴．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴甲学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分而乙学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴甲、乙两校的合格率均为96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）样本中甲校等级的学生人数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分而乙校等级的学生人数为4．∴随机抽取3人中，甲校学生人数的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分∴∴的分布列为0123．．．．．．．．．．．．．．．