高量17-角动量耦合课件

讨论角动量J12的共同本征矢量与J=J1+J2（的共同本征矢量）的本征矢量之间的关系，是两组基矢之间的关系。§23-1两个角动量的耦合互相对易的两个角动量算符J12，它们的矢量和算符是

J12可以是系统两个子系统的角动量，这时J就是大系统的总角动量；也可以是同一个系统不同的角动量，如一个电子的轨道角动量和自旋角动量，这时J就是电子的总角动量。§23角动量的耦合1一、Clebsch-Gordan系数（CG系数）任何系统所在的Hilbert空间总可以写成两个空间的直积：

其中

不受空间转动的影响，

在空间转动时要发生相应的变化。

后一空间的基矢就是这个系统角动量本征矢量。

子系统2的相应量为，和和大系统的总角动量为设子系统1的角动量算符为，本征矢量为和本征矢量为2描写大系统的态矢量随空间转动而变的那一部分，从两个子系统角度讲是在空间中，而从大系统的角度讲，是在空间中，两组基矢所张的空间是同一个空间，两组基矢可以通过一个幺正变换相联系。

，3二、由j1和j2确定j1.重要关系j1和j2取定的子空间，从不耦合表象看，是(2j1+1)(2j2+1)维的。耦合表象的基矢也应该是(2j1+1)(2j2+1)个，由此看j的取值范围。对23.3

两边用分别作用，有即

由此得

5设，即可以表示成的叠加，上式两边用作用（），

当左边的m’由于受到J±的作用变为m时，(-j≤m≤j)，右边的m1和m2也由于受到J1±和J2±的作用取不同的值，而且不会所有的项都成为0，这样23.3式仍然成立，这证明，若对某一个m’，|jm’>在此空间，则所有的2j+1个|jm>必然也在此空间。

62.j的最大值和最小值最大的j应该是j1+j2。

反证之：设j>j1+j2的|jm>也可表示为|j1m1>|j2m2>的叠加，用J+=J1++J2+分别作用于等号两边若干次，使左边为|jj>(j>j1+j2），这时右边各项已全部为0，此时m=m1+m2已不再满足。所以j>j1+j2是不可能的。7三、CG系数的正交性关系CG系数是幺正矩阵元，满足正交性关系：

式中事实上，CG系数的国际标准值都是实数，所以9§23-2CG系数的计算一、m=j的特殊情况若m=j，将简写为，根据CG系数的定义有符号对的取值范围进行了明确的限制。计算时利用两个性质：等号两边都是的本征矢量，本征值为；利用的性质。

10即：22.5311得递推公式：

递推下去，得即m1增大到最大j1，m2减小到最小j-j1。（m1+m2=j）最终：

其中与m1,m2无关的常数，可以用|j1j2jj>的归一化条件得出a即23.16式，代入23.14，得23.17式13二、一般的CG系数的的求法根据

易推出

次（即作用之后，）由此得

所以

取其负共轭，利用

，，得

14由二项式定理得则有

将此式代入23.18式，利用23.17式（m=j的情况）为“边界”条件，

注意到得到CG系数的最后结果：23.19式（Edmonds）为实数，15等价的Racah形式：

注意各值关系和范围：，17三、查CG系数表j1j2

18§23-3CG系数和转动矩阵一、CG系数与转动群表示之间的关系19以上两套基矢通过CG系数联系起来：

其逆变换是：

令(23.24)两边经受一个转动Q，则有(23.25)代入

利用矩阵相乘

21将此式与23.23式相比较，得这是CG系数与转动群的表示之间的重要关系式。和二者的直积矩阵也是转动群的一个表示，上式表明，两个不可约表示的直积是可约的，其约化矩阵就是以CG系数作为矩阵元的矩阵S。（在被S矩阵作用后，直积矩阵被块对角化）都是转动群{Q}的不可约表示，22二、CG系数的一个普遍公式由23.26得

写成矩阵元的形式为

两边乘以，并对Q积分，

因为是完全已知的，所以可以求出CG系数的普遍公式：（23.27）。232.CG系数是实数3.CG系数满足幺正性条件254.其他关系26二．3j符号1.定义：2.对称性质：27§23-53个角动量的耦合考虑一个系统有三个不同的，互相对易的角动量的情况。设它们的本征矢量分别为，和。三个角动量的矢量和，即系统的总角动量为一、耦合表象基矢的构造描写这个系统的Hilbert空间中的角动量有关的直积空间，的部分是三个空间其基矢是29第一套：先将和耦合，令则和四个算符的共同本征矢量是然后根据

再把和耦合，得到它们是六个算符的共同本征矢量。

30第二套：先将和耦合，令然后再将和耦合与前类似，可以得到另一套基矢由一个幺正变换联系起来：定义Racah系数两套基矢都是空间中的基矢组，31二、Racah系数的计算由23.68左乘得

又可证明

所以

32并将式中的j12和m12改为j’12和m’12,得

两边乘以再对m1,m2取和，利用CG系数的幺正性得33两边再乘以，对m12,m3取和，最后得Racah系数用CG系数表示的公式。34CG系数是完全已知的，所以Racah系数原则上已经求出。经过化简得到Racah系数的普遍公式：

在上式中

35§23-66j符号和9j符号目前文献上在使用Racah系数时，常用对称性更为明显的6j符号，而当遇到四个角动量耦合时又会使用9j符号。一、6j符号定义：

通常写成：

36The6jsymbolthecouplingprobability

forthreeangularmomenta.isrelatedtoItisvalidwhen

("trianglerelations")

37二、9j符号在研究四个角动量耦合时会遇到9j符号，例如原子系统中的LS耦合和jj耦合之间的关系。设有四个互相对易的角动量J1,J2,J3,J4，则在Hilbert空间中，可以建立两组新的基矢：对于给定的J1,J2,J3,J4，这两组基矢是以一个幺正矩阵互相变换的，9j符号就是这个变换矩阵的矩阵元乘以一个参数，其定义为38The9jsymbol

couplingprobabilityfor

fourangularmomenta.isrelatedtotheItisvalidwhen399j符号具有很高的对称性，对于行和列的偶数次对调，对于两个对角线的反射，9j符号都不改变数值；对于行和列的奇数次对调，9j符号只差一个符号(-1)s，s为其中所有9个量之和。当9j符号有一个量为0时，有409j符号还有以下关系：41§23-7LS耦合和jj耦合以具有两个价电子的原子为例，讨论这一双电子系统的态矢量的角向部分。、基矢的选择设两电子的轨道角动量和自旋角动量分别为L1,L2和S1,S2，则根据前面的讨论，在这一双电子的Hilbert空间中可以有两组基矢系统。第一组是：42在这组基矢描写的状态中，总轨道角动量L=L1+L2的大小和总自旋角动量S=S1+S2的大小以及总角动量J的大小和z分量取确定值。这组基矢称为LS耦合的基矢。另一组基矢系统为这组基矢表示的态中，两粒子的总角动量J1=L1+S1和J2=L2+S2大小以及系统的总角动量J的大小和z分量取确定值，这组基矢称为jj耦合基矢。43二、系统的Hamiltonian和SchrÖdinger方程的解

1．对此双电子系统，其哈密顿为式中H0为电子在原子核及其余电子（原子实）的场中的哈密顿：（23.91）等式右边最后三项是双电子系统中最重要的两种相互作用：

是两电子间的静电相互作用，

第四第五项则是两电子各自的自旋轨道相互作用(简称“旋轨耦合”)。44

2.SchrÖdinger方程的解

系统的SchrÖdinger方程的解

当两电子完全没有相互作用的时候（包括没有旋轨耦合），此时LS耦合态

或jj耦合态

都可以是SchrÖdinger方程的解

为与径向方程有关的参数

45②两电子只有静电相互作用由于r12（1/r12也一样）具有空间转动不变性，它肯定与L对易，而（23.93）式是

的共同本征矢量，

与这些算符都对易，的解肯定取LS耦合23.93的形式。③再加上较小的旋轨耦合作用这种作用可以作为微扰来处理，根据微扰理论，态函数与（23.93）比较差一个较小的修正。（以23.93形式作为0级波函）

所以SchrÖdinger方