天津东塔中学2021-2022学年高二数学理月考试卷含解析

天津东塔中学2021-2022学年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线上一点处的切线方程是(

)A.

B.

C.D.参考答案：C略2.在△ABC中，已知面积，则角C的度数为（

）A．135°

B．45°

C．60°

D．120°参考答案：B略3.函数在定义域R内可导，若，且当时，，设则（

）A． B．

C． D．参考答案：B略4.在△ABC中，a=λ，b=λ，A=45°，则满足此条件的三角形的个数是A.0

B.1

C.2

D.无数个参考答案：A略5.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝()．A．10

B．12

C．15

D．20参考答案：A略6.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（***）A．2

B．18

C．2或18

D．16参考答案：C7.圆C1:与圆C2:的位置关系是（

）A、外离

B

相交

C

内切

D

外切参考答案：D8.已知等差数列中，，记，则S13=A．78

B．152

C．156 D．168参考答案：C略9.在极坐标系中，点M（1，0）关于极点的对称点为（）A．（1，0） B．（﹣1，π） C．（1，π） D．（1，2π）参考答案：C【考点】Q6：极坐标刻画点的位置．【分析】（ρ，θ）关于极点的对称点为（ρ，π+θ）．【解答】解：∵（ρ，θ）关于极点的对称点为（ρ，π+θ），∴M（1，0）关于极点的对称点为（1，π）．故选：C．【点评】本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．10.下列结论正确的是（

）A．若ac>bc，则a>b

B．若a2>b2，则a>b

C．若a>b,c<0，则a+c<b+c

D．若<，则a<b参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为_________.

参考答案：略12.已知函数，则函数f(x)图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．参考答案：y＝x略13.过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________.参考答案：14.如果函数满足对任意的，都有成立，那么实数a的取值范围是______．参考答案：[2,3)【分析】由已知可知在上单调递增，结合分段函数的性质即可求解．【详解】∵满足对任意的，都有成立，∴在上单调递增，根据分段函数的单调性可知，，解可得，，故答案为：[2，3）．【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的简单应用，解题的关键是注意对端点值的处理．15.已知函数的最小值为3，则a的值为

．参考答案：16.一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当x等于时，方盒的容积最大．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据条件求出容积的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值，由导数可得在x=时函数V（x）有最大值．【解答】解：由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a﹣2x，高为x，则无盖方盒的容积V（x）=（a﹣2x）2x，0＜x＜；即V（x）=（a﹣2x）2x=4x3﹣4ax2+a2x，0＜x＜；V′（x）=12x2﹣8ax+a2=（6x﹣a）（2x﹣a），∴当x∈（0，）时，V′（x）＞0；当x∈（，）时，V′（x）＜0；故x=是函数V（x）的最大值点，即当x=时，方盒的容积V最大．故答案为：17.已知在R上是奇函数，且

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．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知直线的方程为，，点的坐标为．（Ⅰ）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）设点在直线上的射影为点，点的坐标为，求||的取值范围．参考答案：（1）由得，所以直线恒过直线与直线交点，解方程组得，所以直线恒过定点，且定点为．（Ⅱ）因为直线绕着点旋转，所以点在以线段为直径的圆上，其圆心为点，半径为，因为的坐标为，所以，从而．19.已知函数．（1）当，求函数的图象在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间．参考答案：（1）；（2）单调递增区间和，单调递减区间．试题分析：（1）由，求出函数的导数，分别求出，，即可求出切线方程；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，即可求出函数的单调区间试题解析：（1）当时，∴∴，；∴函教的图象在点处的切线方程为.（2）由题知，函数的定义域为，，令，解得，，①当时，所以，在区间和上；在区间上，故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.②当时，恒成立，故函数的单调递增区间是.③当时，，在区间，和上；在上，故函数的单调递增区间是，，单调递减区间是④当时，，时，时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是⑤当时，，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，综上，①时函数的单调递增区间是和，单调递减区间是②时，函数的单调递增区间是③当时，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是④当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；(4)确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.20.椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过点与椭圆交于两点．⑴求的周长；⑵若的倾斜角为，求的面积．参考答案：由椭圆的定义，得，又，所以，的周长．又因为，所以，故点周长为．………………6分⑵由条件，得，因为的倾斜角为，所以斜率为，故直线的方程为．………8分由消去，得，……10分设，解得，所以，．…………14分21.已知圆心为C的圆过点A（﹣2，2），B（﹣5，5），且圆心在直线l：x+y+3=0上（Ⅰ）求圆心为C的圆的标准方程；（Ⅱ）过点M（﹣2，9）作圆的切线，求切线方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）先设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，然后把A和B的坐标代入到圆方程中得到①和②，又因为圆心在直线x+y+3=0上，所以代入得到③，联立①②③，求出a，b，r的值即可得到圆的方程．（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点M（﹣2，9）作圆的切线的切线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根据已知条件可得（﹣2﹣a）2+（2﹣b）2=r2，①（﹣5﹣a）2+（5﹣b）2=r2，②a+b+3=0，③联立①，②，③，解得a=﹣5，b=2，r=3．所以所求圆的标准方程为（x+5）2+（y﹣2）2=9．（Ⅱ）直线的斜率存在时，设方程为y﹣9=k（x+2），即kx﹣y+2k+9=0，圆心C（﹣5，2）到切线的距离d==3，∴k=，∴直线方程为20x﹣21y+229=0，直线的斜率不存在时，即x=﹣2也满足题意，综上所述，所求切线方程为x=﹣2或20x﹣21y+229=0．22.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。