第二章微分学-2 -1导数概念

第二章微积分学的创始人:

德国数学家Leibniz

微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)微分学导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数第一节导数的概念一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动(割线的极限位置——切线位置)播放2.曲线的切线问题2.切线问题(割线的极限位置——切线位置)2.切线问题(割线的极限位置——切线位置)2.切线问题(割线的极限位置——切线位置)2.切线问题(割线的极限位置——切线位置)2.切线问题(割线的极限位置——切线位置)2.切线问题(割线的极限位置——切线位置)2.切线问题(割线的极限位置——切线位置)2.切线问题(割线的极限位置——切线位置)2.切线问题(割线的极限位置——切线位置)2.切线问题(割线的极限位置——切线位置)2.曲线的切线斜率曲线在M

点处的切线割线MN

的极限位置MT(当时)割线MN

的斜率切线MT的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率

所求量为函数增量与自变量增量之比，当自变量增量趋于零时的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限变化率问题二、导数的定义定义1.

设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数值.‥‥‥①‥‥‥②‥‥‥③(1)注：不存在,就说函数在点不可导.(2)若极限(3)若函数在开区间

I

内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注:在以上两式的极限过程中,x当成常量,Δx,h是变量称函数在

I内可导.导函数定义为：简称为导数，运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M

点处的切线斜率求导步骤:例1.求函数(C

为常数)的导数.解:即例2.

求函数解:说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明）例3.

求函数的导数.解:则即类似可证得(注：h为变量，x为常数)例4.求函数的导数.解:

即例5.求函数在x=0处的导数.解:不存在,三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为曲线在点处切线方程:法线方程:例6.问曲线,哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程和法线方程.解:令则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即法线方程分别为四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x

处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x

连续.注意:

函数在点x连续未必可导.反例:在

x=0处连续,

但不可导.即在点的某个右邻域内五、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作(左)(左)定义2

.

设函数有定义,存在,例6.求函数在x=0处的导数.解:不存在,定理2.函数在点且存在简写为在点处右导数存在定理3.

函数在点必右连续.(左)(左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间

内可导,在闭区间

上可导.可导的充分必要条件是且例7.注：分段函数求导时,分段点处导数用左右导数求.解：当x<0时,当x>0时,当x=0时,内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;作业

练习题2.1(P34):2,3,4,5,6,7练习.设,问a,b取何值时,在都存在,并求出解: