新高考二轮复习真题源导数专题讲义第12讲 双变量不等式：剪刀模型（解析版）

第12讲双变量不等式:剪刀模型参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．（2021春•重庆期末）已知有两个极值点，．（1）求的取值范围；（2）当时，证明：．【解答】（1）解：由题意可知，函数的定义域为，则，令，因为函数有两个极值点，，则函数有两个零点，，又，当时，，则在上单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意；当时，令，可得，所以当时，，则单调递减，当，时，，则单调递增，又（1），所以当，即时，有唯一的零点，故符合题意；当，即时，（1），当，即时，在上有唯一的零点，，设（a），，则（a），所以（a）在上单调递减，则（a），即，又，所以在，上有唯一的零点，此时有两个零点，符合题意；当，即时，在，上有唯一的零点，而，，所以在上有唯一的两点，此时有两个零点，符合题意．综上所述，的取值范围为，，；（2）证明：由（1）可知，当时，有两个极值点，，不妨设，则，，因为，所以，设，，则，设，，则，所以在上单调递减，，即，所以在上单调递减，因为，，所以，，故．2．（2021秋•和平区校级月考）已知函数在点，处的切线方程为．（1）求，；（2）设曲线与轴负半轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；（3）若关于的方程有两个实数根，，且，证明：．【解答】解：（1）将代入切线方程中，有，所以，即，又，所以．若，则，与矛盾，故．（2）证明：由（1）可知，令，有或，故曲线与轴负半轴的唯一交点为．曲线在点处的切线方程为，则，令，则，所以，．当时，若，，，若，，在时单调递增，．故，在上单调递减，当时，由知在时单调递增，，在上单调递增．所以，即成立．（3）证明：，设的根为，则，又单调递减，且，所以，设曲线在点处的切线方程为，有，令，，当时，，当时，，故函数在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，设的根为，则，又函数单调递增，故，故．又，所以．3．（2021•日照一模）已知函数在点处的切线方程为．（1）求，；（2）函数图象与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．【解答】解：（1）将代入切线方程中，得，所以，又，解得或，又，所以，若，则（舍去）；所以，则；（2）由（1）可知，，，所以，令，有或，故曲线与轴负半轴的唯一交点为，曲线在点处的切线方程为，则，因为，所以，所以若，，若，所以，若，，所以在上单调递增，，函数在上单调递增．所以；（3）证明：，设的根为，则，又单调递减，由（2）知恒成立．又，所以，设曲线在点处的切线方程为，则，令，当时，，当时，，故函数在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，设的根为，则，又函数单调递增，故，故．又，所以．4．（2021春•道里区校级期中）已知函数，是的极值点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；（Ⅲ）若关于的方程有两个不等实根，，求证：．【解答】（Ⅰ）解：；由题意知，；；（Ⅱ）证明：设曲线在，处切线为直线；令；；；在上单调递增，在，上单调递减；；，即，即上的点都不在直线的上方；（Ⅲ）由（Ⅱ）设方程的解为；则有，解得；由题意知，；令，；；在上单调递增；；的图象不在的下方；与交点的横坐标为；则有，即；；关于的函数在上单调递增；．5．（2021•江西校级二模）已知函数，．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；（Ⅲ）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：由得：又当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时取得极大值，极大值为（1），无极小值．（3分）（Ⅱ）设，，则，，曲线在点处的切线方程为：，即曲线在点处的切线方程为：（6分）（Ⅲ）设，令即，则由于在单调递减，故在单调递减，又，当时，当，时，，在单调递增，在，单调递减，，，即，都有；设方程的根为，．在单调递减，且，设曲线在点原点处的切线方程为：，则易得，，有，即，设方程的根为，则，在单调递增，且，，即．6．（2021•天津）已知函数，．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；（Ⅲ）若方程为实数）有两个实数根，，且，求证：．【解答】（Ⅰ）解：由，可得．当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减．的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）证明：设点的坐标为，，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令函数，即，则．，当时，；当，时，，在上单调递增，在，上单调递减，对于任意实数，，即对任意实数，都有；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程的根为，可得．在上单调递减，又由（Ⅱ）知，因此．类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，对于任意的，有，即．设方程的根为，可得，在上单调递增，且，因此，由此可得．7．（2021秋•湖南月考）已知函数，设曲线在点，（e）处的切线方程为．（1）求的解析式；（2）证明：对定义域内任意，都有；（3）当时，关于的方程有两个不等的实数根，，证明：．【解答】解：（1），（e），又（e），；（2）证明：令（e），（e）在上单调递增，且（e），当时，，单调递减，当时，，单调递增，（e）恒成立，恒成立．（3）证明：当时，，则，显然在定义域内单调递增，而（1），（e），存在，使，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，令，解得或，由（1）（2）可知在处的切线方程为，且恒成立，同理可得在处的切线方程为，令，当时，，，当时，，，恒成立．设函数在两个零点处的切线方程与直线的交点的横坐标分别为和，不妨设，则，，令，解得，，，得证．8．已知曲线在点，处的切线方程为（1）求和的值．（2）设曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意实数，都有．（3）方程的两根分别为、，且，证明：【解答】解：（1）当时，，所以，所以，此时，即点，代入切线方程得；（2）由（1）知，显然，当时，，故只需证明时，；令，所以，当时，，即当时，，单调递减，当时，，单调递增；所以在时取极小值也是最小值，即，所以，即，综上：对于任意实数，都有；（3）易得函数的图象在，（1）处的切线方程为，令，则（1），，所以（1），令，则，所以在上单调递增，又（1），所以当时，，单调递减，当，时，单调递增；所以在时取极小值也是最小值，即（1），所以，即，设函数与和的图象的交点横坐标分别为、，则，，，，且等号不能同时取得所以，即．9．（2021春•东丽区校级月考）已知函数．（1）求在点，处的切线方程；（2）若，证明：在，上恒成立；（3）若方程有两个实数根，，且，证明：．【解答】解：（1）函数，由，由，，所以切线方程为，（2）当，时，，所以．故只需证，构造，，又在，上单调递增，且（1），知在，上单调递增，故（1）．因此，得证．（3）由（1）知在点，处的切线方程为．构造，，．当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以．设方程的根．又，由在上单调递减，所以．另一方面，在点处的切线方程为．构造．，．当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．又，，（1），所在上单调递减，在上单调递增．所以（1）．设方程的根．又，由在上单调递增，所以．，，，所以，得证．10．（2021•吴兴区校级模拟）已知函数．（1）求在点，处的切线方程；（2）已知在上恒成立，求的值．（3）若方程有两个实数根，，且，证明：．【解答】解：（1）函数，则，所以，，所以在点，处的切线方程为；（2）令，则，令，则，所以在单调递减且，在单调递增，又，即且，故只能在处取得最小值，若，此时，在上，故单调递减，在上，故单调递增，故，满足题意；若，有解，，在上单调递减，与矛盾；若，有解，，在，上单调递减，与矛盾；综上所述，；（3）证明：，所以在单调递减且，在单调递增，故最多一根，又因为，，设的解为，因为，故，所以在上单调递减，在上单调递增，因为方程有两个实数根，，故，结合（1）（2）有，在上恒成立，设的解为，则，设的解为，则，故，，所以，得证．11．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数．（1）设曲线在处的切线方程为，求证：；（2）若方程有两个根，，求证：．【解答】证明：（1），则，故，，故切线方程是：，即，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，故，即；（2）不妨设，直线与相交于点，又由（1）知：，则，从而，当且仅当，时取“”，下面证明：，由于，故，即证，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故（e），即成立，当且仅当，时取“”，由于等号成立的条件不同时满足，故．12．（2021•天津）已知函数，，其中，且．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（Ⅲ）若关于的方程为实数）有两个正实数根，，求证：．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由，可得，其中，且．下面分两种情况讨论：（1）当为奇数时，令，解得，或，当变化时，，的变化情况如下表：所以，在，上单调递减，在单调递增．（2）当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；所以，在单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）证明：设点的坐标为，，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则．由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当，时，，所以在内单调递增，在，上单调递减，所以对应任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有．（Ⅲ）证明：不妨设，由（Ⅱ）知，设方程的根为，可得，由（Ⅱ）知，可得．类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，，设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此，由此可得：，因为，所以，故：．所以：．13．（2017•临汾三模）已知函数（1）求在点，（1）处的切线方程，并证明（2）若方程有两个正实数根，，求证：．【解答】证明：（1），（1），（1），在点，（1）处的切线方程，设，则，，令，可得或，函数在，上单调递增，在上单调递减，，，，单调递减；，，，，单调递增，（1），；（2）在处的切线方程为，则又，设与和的两个交点的横坐标为，，，．14．（2021