吉林省长春市市第三十七中学2022年高三数学理模拟试卷含解析

吉林省长春市市第三十七中学2022年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．20 B．22 C．24 D．26参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为3正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长为3正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分．该几何体的体积V=33﹣3×13=24．故选：C．【点评】本题考查了正方体的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则等比数列{an}公比q等于（）A．3 B．9 C．27 D．81参考答案：A【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式及等差数列的性质列出方程组，由此能求出等比数列{an}公比q．【解答】解：∵等比数列{an}中，各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，∴，即，解得q=3．∴等比数列{an}公比q等于3．故选：A．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．3.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（

）A． B． C． D．参考答案：D4.27．i是虚数单位，=

(A)1+i

(B)1?i

(C)2+2i

(D)2?2i参考答案：B5.已知函数，若，且，则的最小值为(A)

(B)(C)2

(D)4参考答案：B6.已知双曲线的离心率为，则的值为A．1

B．－2

C．1或－2

D．－1参考答案：C7.复数=(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C，选C.8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（

）

A．1007

B．2015

C．2016

D．3024参考答案：D模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：所以该程序运行后输出的的值是故答案选

9.“”是“”的(

)，

(A)充分丽不必要条件

(B)必要两不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：A10.已知函数，则（）A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，则参考答案：12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 参考答案：13.

.参考答案：14.我们把形如的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为

．参考答案：15.若实数满足，则当取最小值时，的值为________.参考答案：5

【知识点】柯西不等式N4解析：由柯西不等式得此时又，【思路点拨】直接使用柯西不等式可求结果.16.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为

．参考答案：﹣7考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=y﹣2x对应的直线进行平移，可得当x=5且y=3时z取得最小值，可得答案．解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，3），B（5，3），C（2，0，）设z=F（x，y）=y﹣2x，将直线l：z=y﹣2x进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（5，3）=﹣7故答案为：﹣7点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=y﹣2x的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．17.已知随机变量的分布列为:123则

，

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为；（2）.【分析】（1）求出函数的定义域与导数，然后在定义域内分别解不等式和，可得出函数的单调递减区间和单调递增区间；（2）由，利用参变量分离法得出在恒成立，令，将问题转化为，然后利用导数求出函数在上的最小值，可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，定义域为，.令，得；令，得.因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，令，，则，令，，.所以在单调递增，而，所以时，，即，单调递减；时，，即，单调递增.所以在处取得最小值，所以，即实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关键在于利用参变量分离转化为函数的最值来求解，避免了分类讨论，考查化归与转化思想，属于中等题.19.如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，∠PCA=90°，E，H分别为AP，AC的中点，AP=4，BE=．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEH；（Ⅱ）求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．参考答案：考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明：BH⊥AC，EH⊥AC，即可证明AC⊥平面BEH；（Ⅱ）取BH得中点G，连接AG，证明∠EAG为PA与平面ABC所成的角，即可求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．解答： （Ⅰ）证明：因为△ABC是边长为2的正三角形，所以BH⊥AC．…又因为E，H分别为AP，AC的中点，得EH∥PC，因为∠PCA=90°，所以EH⊥AC．…故AC⊥平面BEH．…（Ⅱ）解：取BH得中点G，连接AG．…因为EH=BH=BE=，所以EG⊥BH．又因为AC⊥平面BEH，所以EG⊥AC，所以EG⊥平面ABC．所以∠EAG为PA与平面ABC所成的角．…在直角三角形EAG中，AE=2，EG=，所以\sin∠EAG==．…所以PA与平面ABC所成的角的正弦值为．点评：本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确利用线面垂直的判定定理是关键．20.五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置,指针落在区域的边界时，重新转一次）指针所在的区域及对应的返劵金额见右下表．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）已知顾客甲消费后获得次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为，每次转动转盘的结果相互独立，设为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，的数学期望，方差.求、的值；（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元)．求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：（1）；（2）分布列见解析，.

（1）依题意知，服从二项分布∴--------------------------1分又------------------2分联立解得：---------------------------------------4分（2）设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.则.由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量的可能值为0，30，60，90，120.----------------------------------5分

-----------------10分所以，随机变量的分布列为：

0306090120其数学期望-----------------12分考点：二项分布、分布列、期望．21.已知椭圆的离心率为，长轴长为4，直线与椭圆C交于A、B两点且为直角，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）求的最大值.参考答案：（1）由题意，，所以.椭圆方程为（2）设，，把代人，得.因为为直角，所以，得，，所以，，.的长度为试题立意：本小题主要考查椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；意在考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.22.证明下列恒等式；（1）；（2）.参考答案：（1）见证明；（2）见证明【分析】（1）当时，利用化简和式通项后再利用二项式系数