北京赵村中学2022高二数学理测试题含解析

北京赵村中学2022高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为－1的点P的个数为

（

）A、0

B、1

C、2

D、3参考答案：D2.设等差数列的前n项和为，已知则数列的公差d为（

）A．1

B． C.

D． 参考答案：D3.已知A（﹣2，0），B（2，0），动点P（x，y）满足，则动点P的轨迹为（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．两条平行直线参考答案：D【考点】轨迹方程．【分析】由题意知（﹣2﹣x，y）?（2﹣x，y）=x2，即可得出动点P的轨迹．【解答】解：∵动点P（x，y）满足=x2，∴（﹣2﹣x，y）?（2﹣x，y）=x2，∴点P的方程为y2=4即y=±2∴动点P的轨迹为两条平行的直线．故选D．4.设复数（i是虚数单位），则（

）A.i B.－i C. D.参考答案：D【分析】先化简，结合二项式定理化简可求.【详解】，，故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算和二项式定理的应用，逆用二项式定理要注意配凑出定理的结构形式.5.已知，，，三角形的面积为

A

B

C

D

参考答案：B略6.下列求导运算正确的是A．

B．C．

D．参考答案：B7.已知a、b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：①a∥α，b∥α，则a∥b

②α⊥β，β⊥γ，则α∥β③a∥α，a∥β，则α∥β

④a∥b，b?α，则a∥α其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】根据空间线面平行及线线平行的几何特征，可判断①的真假；根据空间面面垂直及面面平行的几何特征，可判断②的真假；根据空间线面平行及面面平行的几何特征，可判断③的真假；根据空间线线平行及线面平行的几何特征及线面平行的判定定理可判断④的真假．【解答】解：①中，若a∥α，b∥α，则a与b可能平行，也可能相交，也可能异面，故①错误；

②中，若α⊥β，β⊥γ，则α与β的交线与γ垂直，但平面α与β可能平行，也可能相交且夹角不确定，故②错误；③中，若a∥α，a∥β，则α与β可能平行，也可能相交（此时两平面的交线与已知直线平行），故③错误；④中，若a∥b，b?α，则a∥α或a?α，故④错误故选A8.已知函数，()，若，，使得，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用O、P、A、B四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题．10.某四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面的面积中最大的是（

）.A.8

B.10

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.椭圆的焦点为，点在椭圆上.若，则

．(用数字填写)参考答案：212.观察下列各式：，...，则

．参考答案：

123;

13.已知方程表示双曲线，则m的取值范围是__________________.参考答案：略14.已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积，则角C=___.参考答案：45015.一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．参考答案：（x﹣）2+y2=【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．16.椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是．参考答案：【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．【分析】由圆的方程求得圆的半径，要使椭圆与圆有四个不同交点，则圆的半径大于椭圆短半轴小于椭圆长半轴长，由此得到不等式求得椭圆离心率的范围．【解答】解：由圆x2+y2=（+c）2是以原点为圆心，以为半径的圆，∴要使椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2有四个不同交点，则，由，得b＜2c，即a2﹣c2＜4c2，即；联立，解得或e＞1（舍）．∴椭圆离心率的取值范围是．故答案为：．17.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱AB的中点，则直线A1P与BC1所成角为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆，求以点为中点的弦所在的直线方程.参考答案：略19.求下列函数的导数：（Ⅰ）；（Ⅱ）.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（1）由导数的计算公式，进而计算，即可求解，得到答案；（2）由导数的乘法法则，进行计算、变形，即可求解，得到答案．【详解】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得.（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得.【点睛】本题主要考查了导数的计算，其中解答中熟练掌握导数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20.在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）． （Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程； （Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值． 参考答案：【考点】参数方程化成普通方程． 【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C1的直角坐标方程，再由代入法，即可化简曲线C2的参数方程为普通方程； （Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾股定理，即可得到最小值． 【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0， 可化为直角坐标方程x2+y2﹣2x+4y+4=0， 即圆（x﹣1）2+（y+2）2=1； 曲线C2的参数方程为（t为参数）， 可化为普通方程为：3x+4y﹣15=0． （Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小． 则由点到直线的距离公式可得d==4， 则切线长为=． 故这条切线长的最小值为． 【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题． 21.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2；（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）依题意得2a=2，，由此能求出双曲线方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）AB的中点M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，由此能求出实数m的值．【解答】解：（1）依题意得2a=2，a=1，…，∴，…∴b2=c2﹣a2=2，…∴双曲线方程为：…（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）AB的中点M（x0，y0），…由得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0…，…∵点M在圆上，∴，∴m2+（2m）2=5，∴m=±1．…【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22.已知椭圆的左顶点，过右焦点且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点，求证：为定值．参考答案：解：（1），设过右焦点且垂直于长轴的弦为，将代入椭圆方程，解得，

…………（2分）故，可得．

…………（4分）所以，椭圆方程为．

………（6分）（2）由题意知，直线斜率存在，故设为，则直线的方程为，直线的方程为．可得，则．