北京垡头中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析

北京垡头中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知,,，则()A．

B．C．

D．参考答案：B2.（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积是（）A．B．C．2D．2参考答案：B【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：常规题型．【分析】：由三视图还原可知，这是一个正三棱柱，然后用体积公式求解．解：这是一个正三棱柱，则V==．故选：B．【点评】：本题考查了三视图的基本认识，要注意量之间的关系和三个图间的相等关系；属于基础题．3.在等差数列则此数列前13项的和为（

）A．13

B．26

C．52

D．156参考答案：B略4.若，是虚数单位，且，则的值为……………（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.“＝10”是“”的展开式中有常数项的（

）（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A略6.设函数，其中，为如图所示的程序框图中输出的结果，则的展开式中常数项是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.i为虚数单位，,则的共轭复数为

(

)A.

2-i

B.

2+i

C.-2-i

D.-2+i参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算;共轭复数.【答案解析】A解析：解：因为，故的共轭复数为，故选A.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.8.函数的定义域是

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：B解析：由，故选B.9.某程序框图如图所示，该程序运行输出的的值是（

）A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：A略10.按如图所示的程序框图运算，若输出，则输入x的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．

15（文）图

15（理）图

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知单位向量与向量的夹角为，则________.参考答案：112.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，与其准线交于点，且，则

．参考答案：13.程序框图（如图）的运算结果为

参考答案：第一次循环为；第二次循环为；第三次循环为；第四次循环为；第五次循环此时条件不成立，输出。14.设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为

.

参考答案：2．函数在点处的切线为，即.所以D表示的平面区域如图当目标函数直线经过点M时有最大值，最大值为.

15.已知正数a、b均不大于4，则a2－4b为非负数的概率为

。参考答案：由题意知：，我们把a、b看做直角坐标系的横坐标和纵坐标，画出其可行域为边长为4的正方形，表示的可行域与正方形重合的面积为：，所以a2－4b为非负数的概率为。16.若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值

.参考答案：18略17.函数的定义域是______________.参考答案：{x|x>1}略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点。

（I）若A，B两点的纵会标分别为的值；

（II）已知点C是单位圆上的一点，且的夹角θ。参考答案：略19.（本小题满分13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．参考答案：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=．

20.（本小题满分14分）设函数．(1)当时,求函数的单调区间；(2)当时,求函数在上的最小值和最大值．参考答案：…………1分(1)当时恒成立,∴的单调递增区间为R.…………4分（2）当时，，其开口向上，对称轴，且过（i）当，即时，，在上单调递增，从而当时，取得最小值,当时，取得最大值.…………7分（ii）当，即时，令解得：,注意到,(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)…………10分，的最小值,的最大值综上所述，当时，的最小值,最大值……14分解法2（2）当时，对，都有，故…………8分故，…………12分而，所以，…………14分21.(本题满分12分)已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围；(Ⅲ)如果直线交椭圆于不同的两点,,且,都在以为圆心的圆上,求的值.

参考答案：(Ⅰ)因为,,所以.

因为原点到直线:的距离,解得,.

故所求椭圆的方程为.

……4分(Ⅱ)因为点关于直线的对称点为,

所以

解得,.所以.

因为点在椭圆:上,所以.

因为,所以.所以的取值范围为.

…8分(Ⅲ)由题意消去,整理得.可知.

设,,的中点是,

则,.

所以.

所以.

即.

又因为,

所以.所以

………………12分22.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，S3=6，正项数列{bn}满足b1?b2?b3…bn=2．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若λbn＞an对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得an，Sn．再利用递推式可得bn．（2）λbn＞an，化为．考察数列的单调性即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1=1，S3=6，∴=6，化为1+d=2，解得d=1．∴an=1+（n﹣1）×1=n，．∴Sn﹣1=（n≥2）．∵正项数列{bn}满足b1?b2?b3…bn=2．∴当n≥2时，正项数列{bn}满足b1?b2?b3…bn﹣1=．∴bn