北京丰台区丰台第一中学2021-2022学年高二数学文期末试题含解析

北京丰台区丰台第一中学2021-2022学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数满足，则有

A.最小值和最大值1

B.最小值和最大值1

B.最小值和最大值

D.最小值1参考答案：B2.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题意得的始终是匀速增长，开始时，的增长比较快，但中间有一段时间停止增长，在最后一段时间里，的增长又较快，但的值没有超过的值，由此得到结论．【详解】由题意可得的始终是匀速增长，开始时，的增长比较快，但中间有一段时间停止增长，在最后一段时间里，的增长又较快，但的值没有超过的值，结合所给的图象可知，B选项适合，故选B．【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别与应用，其中解答中根据题意判断关于的函数的性质及其图象的特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3.若函数满足：，则的最小值为(

)

A.

B.

C.

D.12.参考答案：4.投掷两粒骰子,得到其向上的点数分别为m、n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为()A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.已知，则下列正确的是

A．奇函数，在R上为增函数

B．偶函数，在R上为增函数

C．奇函数，在R上为减函数

D．偶函数，在R上为减函数参考答案：A6.命题使的否定是

参考答案：略7.已知直线m、n及平面α、β，则下列命题正确的是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】A：由条件可得：α∥β或者α与β相交．B：根据空间中直线与平面的位置关系可得：n∥α或者n?α．C：由特征条件可得：m∥β或者m?β．D：根据空间中直线与直线的位置关系可得：m⊥n．【解答】解：A：若m∥α，n∥β，则α∥β或者α与β相交，所以A错误．B：若m∥α，m∥n，则根据空间中直线与平面的位置关系可得：n∥α或者n?α，所以B错误．C：若m⊥α，α⊥β，则有m∥β或者m?β，所以C错误．D：若m⊥α，n∥α，则根据空间中直线与直线的位置关系可得：m⊥n，所以D正确．故选D．8.若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是()A．x＋2y－3＝0

B．x＋2y－5＝0

C．2x－y＋4＝0

D．2x－y＝0参考答案：B略9.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比为（）Ａ．

Ｂ．

C．

D．参考答案：D10.中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A：B=________ A.11：8 B.3：8 C.8：3 D.13：8参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（4分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx的最大值为_________．参考答案：12.某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温（°C）181310-1用电量（度）24343864由表中数据，得线性回归方程当气温为–4°C时，预测用电量的度数约为

．参考答案：6813.已知定义在R上的奇函数，当时，，则解析式为____________.参考答案：略14.函数在[－2,0]上的最大值与最小值的和为_______.参考答案：【分析】判断出函数在上的单调性，可求出该函数的最大值和最小值，相加即可得出答案.【详解】由于函数在上单调递减，则该函数的最大值为，最小值为，因此，函数在[－2,0]上的最大值与最小值的和为，故答案为：.【点睛】本题考查函数在区间上最值的求解，解题时要充分分析函数的单调性，利用函数单调性得出函数的最大值和最小值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.已知纯虚数满足(其中是虚数单位)，则

．参考答案：

16.若，则角的终边落在第

象限.参考答案：二17.右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米,水位下降1米后，水面宽______

米.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）频率第一组（0，25]30.15第二组（25，50]120.6第三组（50，75]30.15第四组（75，100]20.1（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求频率分布直方图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．【分析】（1）（1）①估计频率和为1求出a的值；②利用频率分布直方图求出年平均浓度，与35比较即可得出结论；（2）由题意得PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X=k）=?0.13﹣k?0.9k，写出分布列．【解答】解：（1）①由第四组的频率为1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，得25a=0.1，解得a=0.004；②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进；（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3；P（X=k）=?（1﹣0.9）3﹣k?0.9k，可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；X的分布列为：X0123P0.0010.0270.2430.729【点评】本题考查了频率分布直方图与二项分布列的应用问题，是基础题．19.（6分）已知函数.（1）求函数的单调区间与极值；（2）设，且，恒成立，求的取值范围.参考答案：（1），f(x)随x的变化如下x0(0,4)4

+

0

-

0

+

极大值

极小值由上表格可知f(x)的单调递增区间为，；f(x)的单调递减区间为（0,4）

f(x)的极大值为-1，极小值为-33（2）在[-1,2]上恒成立时略20.已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）若函数在上为增函数，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）解：（Ⅰ）定义域．当时，，．令，得．当时，，为减函数；当时，，为增函数.所以函数的极小值是．

5分（Ⅱ）由已知得．因为函数在是增函数，所以，对恒成立．由得，即对恒成立．设，要使“对恒成立”，只要．因为，令得．当时，，为减函数；当时，，为增函数.所以在上的最小值是．故函数在是增函数时，实数的取值范围是

13分考点：1函数的概念和性质；2导数和利用导数研究函数性质。略21.（本小题满分12分）已知点A(3,3)、B(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．参考答案：解：解方程组，得交点P(1,2)．(1)若点A、B在直线l的同侧，则l∥AB.而kAB＝＝－，由点斜式得直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0；(2)若点A、B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点(4，)，由两点式得直线l的方程为＝，即x－6y＋11＝0.综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.

略22.如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积VP﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）取AC中点O，连结PO，BO，证明OP⊥平面ABC，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥P﹣ABC的体积VP﹣ABC；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AC中点O，连结PO，BO，∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC