2022浙江省衢州市开化县第一高级中学高三数学理模拟试卷含解析

2022浙江省衢州市开化县第一高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则向量与的夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B3.在等差数列{an}中，，，则为（

）A．64

B．81

C.

128

D．243参考答案：A因为等比数列中，，所以，故，解得，所以，故选A.

4.若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ=sin的值．【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×=，故选：C．5.函数，若方程有且只有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（

）A.(－∞,1) B.[0,1) C.(－∞,0) D.[0,+∞)参考答案：A【分析】在同一坐标系中画出的图像与的图像，利用数形结合，易求出满足条件的实数的取值范围.【详解】画出函数图像如下：当时，函数的图像与的图像有两个交点，即方程有且只有两个不等的实根.故选：A【点睛】本题考查分段函数的图像，根的存在性及根的个数的判断，将方程根的个数转化为求函数零点的个数，并用图像法进行解答是本题的关键，属于基础题.6.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B．16π C．9π D．参考答案：A【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π?（）2=．故选：A．7.已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么

A．(-∞,-1)

B．(1,+∞）

C．(-1，1)

D．（-∞，-1）∪(1，+∞）参考答案：D本题考查了集合的补集运算，容易题。因为集合，所以，故选D。8.过抛物线焦点F的直线l交C于A，B两点，在点A处的切线与x，y轴分别交于点M，N.若的面积为，则（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B【分析】先设，再求出点处的切线方程，进而求出，坐标，得到的面积，即可求出点坐标，求出的长.【详解】因为过抛物线的焦点的直线交于，所以设，又，所以，所以点处的切线方程为：,令可得，即；令可得，即,因为的面积为，所以，解得，所以.故选B【点睛】本题主要考查抛物线的性质，只需先求出点坐标，即可根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解，属于常考题型.9.执行如图所示的程序框图,输出的值是（

）

A．2

B．-1

C．

D．-2参考答案：B10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a－b｜≤1，就称甲乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为

A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知曲线C：y2﹣4x2n=0，则“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．参考答案：充分不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：设P（x，y）在曲线C：y2﹣4x2n=0上，把点P′（﹣x，y）代入曲线可得证明，解答：解：∵线C：y2﹣4x2n=0，则“n为正奇数”，∴设P（x，y）在曲线C：y2﹣4x2n=0上，把点P′（﹣x，y）代入曲线可得：y2﹣4（﹣x）2n=0，即y2﹣4（x）2n=0成立，∴P′（﹣x，y）点在曲线上，∴曲线C关于y轴对称，根据充分必要条件的定义可判断：“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的充分不必要故答案为：充分不必要点评：本题考查了充分必要条件的定义，点与曲线的位置关系，属于容易题．12.设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．参考答案：－113.若向量，则与夹角的余弦值等于_____参考答案：【分析】利用坐标运算求得；根据平面向量夹角公式可求得结果.【详解】

本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为

.:参考答案：

法1：本题主要考查了异面直线所成角的问题，是中等难度题目。取中点F，连接,则即为所求

的二面角，连接,,设正方体棱长为1，则,.:法2：以A点为原点，以AB、AD、所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，则有A(0,0,0)，E（3,0,1），F（1,1,2），，，设面AEF的法向量为，则，解得，面ABC的法向量为，则，，故面与面ABC的所成角的平面角正切值为.15.（文科）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=

．（理科）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为

．参考答案：文8；理。【考点】极限及其运算；导数的几何意义；定积分．【专题】计算题；数形结合法；导数的概念及应用．【分析】（文科）先运用导数求切线的斜率，得到切线方程，再根据该直线与抛物线相切，由△=0解出a；（理科）先求出两曲线的交点，得到积分的上，下限，再用定积分求面积．【解答】解：（文科）y'=1+=2，即切线的斜率为2，根据点斜式，求得切线方程为y=2x﹣1，该直线又与抛物线y=ax2+（a+2）x+1相切（a≠0），联立得，ax2+（a+2）x+1=2x﹣1，整理得，ax2+ax+2=0，由△=0解得a=8（舍a=0），故答案为：8．（理科）联立方程解得x=0或x=1，两曲线围成的面积根据定积分得，S=x﹣==，故答案为：．【点评】本题主要考查了导数的简单应用和定积分的应用，属于基础题．16.（6分）设函数f（x）=2sin（πx），若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立．则关于m的不等式m2+m﹣f（x0）＞0的解为．参考答案：{m|m＜﹣2，m＞1}考点： 正弦函数的奇偶性．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 由题意可得f（x0）=2，关于m的不等式m2+m﹣f（x0）＞0，即m2+m﹣2＞0，由此求得m的范围．解答： 解：由题意可得f（x0）为f（x）的最大值，故f（x0）=2．关于m的不等式m2+m﹣f（x0）＞0，即m2+m﹣2＞0，求得m＜﹣2，m＞1，故答案为：{m|m＜﹣2，m＞1}．点评： 本题主要考查正弦函数的最大值，一元二次不等式的解法，属于基础题．17.数列是公比为的等比数列，是首项为12的等差数列．现已知a9＞b9且a10＞b10，则以下结论中一定成立的是

．（请填写所有正确选项的序号）

1

；②；③；④．参考答案：【答案解析】①③解析：解：因为数列是公比为的等比数列，所以①成立;而④，只有当为正数才成立，不一定成立；又因为是首项为12的等差数列，所以是递减数列，③成立，当公差很小时②不成立，所以答案为①③【思路点拨】根据数列的概念进行分析.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=3，，bn=an+1﹣an．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an}的通项公式；（3）数列{cn}满足cn=log2（an+1）（n∈N*），求参考答案：【考点】：数列的应用．【专题】：计算题．【分析】：（1）由题意可知数列{bn}是首项b1=2，公比q=2的等比数列．故bn=b1qn﹣1=2n．（2）由an+1﹣an=2n（n∈N*）可知an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，由此能够求出数列{an}的通项公式．（3）根据题意，可知，由此能够求出答案．解：（1）∵，又b1=a2﹣a1=3﹣1=2．所以数列{bn}是首项b1=2，公比q=2的等比数列．故bn=b1qn﹣1=2n（2）an+1﹣an=2n（n∈N*）∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=．（3）cn=log2（an+1）=log2（2n﹣1+1）=log22n=n，（n∈N*），∴∴==【点评】：本题考查数列的性质和应用，具有一定的难度，解题时要注意公式的合理选用．19.（本小题满分14分）已知椭圆（a>b>0）,点P（,）在椭圆上。（I）求椭圆的离心率。（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。参考答案：20.（本小题12分）如图所示，在棱长为的正方体中，分别为棱和的中点.（1）求异面直线与所成角的正弦值；（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.参考答案：（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系由已知得，，故异面直线与所成角的正弦值为

………６分（2）假设存在点满足题意设平面的法向量为，则取则，易知平面的一个法向量为由图，二面角为与夹角的补角，设与夹角为，则，,

由解得故存在一点，当时，二面角的大小为.

……….１２分21.（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。

参考答案：（1）（i）因为，

平面ADD1A1，所以平面ADD1A1.又因为平面平面ADD1A1=，所以.所以.

（ii）

因为，所以，又因为，所以，在矩形中，F是AA的中点，即.即，故.所以平面.(2)设与交点为H，连结.由（1）知，所以是与平面所成的角.在矩形中，，，得，在直角中，，，得，所以BC与平面所成角的正弦值是.22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积.

参考答案