2022年福建省宁德市嵛山中学高二数学理月考试题含解析

2022年福建省宁德市嵛山中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的最小正周期为（

）A.

B．

C．

D．参考答案：B2.函数的值域是………（

）

A

B

C

D

参考答案：D略3.不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，2） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，2]参考答案：D【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a﹣2=0与a﹣2≠0两类讨论，特别是后者：对于（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，有求出a的范围，再把结果并在一起．【解答】解：当a=2时，原不等式即为﹣4＜0，恒成立，即a=2满足条件；当a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，必须解得，﹣2＜a＜2．综上所述，a的取值范围是﹣2＜a≤2，故选D．【点评】本题考查二次函数的性质，易错点在于忽略a﹣2=0这种情况而导致错误，属于中档题．4.如图，一个棱锥的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该棱锥的体积是，则其底面周长为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图像可以为()参考答案：C由题意可知，则，题中只给了部分图象，所以从选项中观察，四个图象在原点附近均不同，但是分析函数，因为都为偶函数，所以在原点附近，恒成立，且在原点处函数值为0，只有选项C满足，故本题正确选项为C.

6.设各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10=10，S30=70，则S40等于(

)A．150 B．﹣200 C．150或﹣200 D．400或﹣50参考答案：A【考点】等比数列的前n项和．【专题】综合题．【分析】根据等比数列的前n项和的公式化简S10=10，S30=70，分别得到关于q的两个关系式，两者相除即可求出公比q的10次方的值，然后利用等比数列的前n项和的公式表示S40比S10的值，把q的10次方的值代入即可求出比值，根据比值即可得到S40的值．【解答】解：根据等比数列的前n项和的公式化简S10=10，S30=70得：S10==10，S30==70，则===7，得到1+q10+q20=7，即（q10）2+q10﹣6=0，解得q10=﹣3（舍去），q10=2，则====15，所以S40=15S10=150．故选A【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道综合题．7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．72参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，解得a5=4，从而S9=，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a4+a5+a6+a7=20，∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，解得a5=4，∴S9==36．故选：B．8.一个圆形纸片，圆心为O，F为圆内的一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则P的轨迹是A．椭圆

B．双曲线

C．抛物线

D．圆参考答案：A9.下列说法正确的是（）（A）直线平行于平面α内的无数直线，则∥α（B）若直线在平面α外，则∥α（C）若直线∥b，直线bα，则∥α（D）若直线∥b，直线bα，那么直线就平行平面α内的无数条直线参考答案：D10.已知数列{an}中，，若{an}为递增数列，则的取值范围是（

）A.(－∞,3) B.(－∞,3]C.(－∞,2) D.(－∞,2]参考答案：A【分析】由已知得，根据为递增数列，所以有，建立关于的不等式，解之可得的取值范围.【详解】由已知得，因为为递增数列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故选A.【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出是解决此类问题的关键，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有

种.(结果用数值作答)参考答案：80按的位置分类，当在第三个位置时，共有种排法；当在第四个位置时，共有种不同的排法；当在第五高为位置时，共有种不同的排法，所以当都在的左侧时，共有种不同的排法，所以都在的同侧时，共有种不同的排法.

12.已知是虚数单位，复数为纯虚数，则实数=

.参考答案：-2

略13.菱形ABCD的边长为2，且∠BAD＝60°，将三角形ABD沿BD折起，得到三棱锥A－BCD，则三棱锥A－BCD体积的最大值为

参考答案：114.已知，若三向量共面，则________.参考答案：5略15.已知函数的定义域为R，，若对，，则不等式的解集为_______参考答案：【分析】构造函数，通过导数可知单调递减，再通过可确定的解集，从而得到结果.【详解】令，则在上单调递减又当时，，即的解集为：本题正确结果：【点睛】本题考查利用单调性求解不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为自变量范围的求解.16.将y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位得到函数y=2sinx（sinx﹣cosx）﹣1的图象，则φ=．参考答案：【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【解答】解：将y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位得到y=sin（2x﹣2φ+）的图象，根据题意，得到函数y=2sinx（sinx﹣cosx）﹣1=2sin2x﹣sin2x﹣1=﹣sin2x﹣cos2x=﹣sin（2x+）=sin（2x+）的图象，∴﹣2φ+=+2kπ，k∈Z，即φ=﹣kπ﹣，∴φ=，故答案为：．17.对于大于或等于2的自然数，有如下分解式：22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律，若n2=1+3+5+…+19，m3的分解中最小的数是43，则m+n=．参考答案：17【考点】归纳推理．【分析】根据等差数列的通项公式以及数列的求和公式即可求出m，n的值．【解答】解：依题意得n2=1+3+5+…+19==100，∴n=10．∵m3（m∈N*）的分解中最小的数是43，∴m3=43m+=m2+42m，即m2﹣m﹣42=0，∴（m﹣7）（m+6）=0，∴m=7或m=﹣6．又m∈N*，∴m=7，∴m+n=17．故答案为：17．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合，，若，求的取值范围。参考答案：解析：若则

若，则，不满足

若，则

无解

19.已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）．（1）若f′（﹣1）=0，求函数y=f（x）在[﹣，1]上的极大值和极小值；（2）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先对函数进行求导，f′（﹣1）=0，即可求出a的值，再利用导数求出函数的单调区间，继而得到函数y=f（x）在[﹣，1]上的极大值和极小值；（2）由于函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，得到f′（x）=0有实数解，再由△≥0，即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（﹣1）=0，∴3﹣2a+1=0，即a=2，∴f′（x）=3x2+4x+1=3（x+）（x+1），由f′（x）＞0，得x＜﹣1或x＞﹣，由f′（x）＜0，得：﹣1＜x＜﹣，因此，函数f（x）的单调增区间为（﹣，﹣1），（﹣，1）；单调减区间为（﹣1，﹣），f（x）在x=﹣1取得极大值为f（﹣1）=2；f（x）在x=﹣取得极小值为f（﹣）=，（Ⅱ）∵f（x）=x3+ax2+x+a，∴f′（x）=3x2+2ax+1，∵函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，∴f′（x）=0有实数解，∴△=4a2﹣12≥0，∴a＞或a＜﹣，因此，所求实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[，+∞）．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题，属于中档题．20.（本题满分12分）甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功得2分，三人得分之和记为小组团体总分．

（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；

（2）求团体总分为4分的概率；

（3）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组参加复赛的概率．参考答案：解：记甲、乙、丙三人各自独立闯关成功的事件依次为A、B、C，则由已知条件得

……1分

（1）

……3分

同理，

……4分

（2）每人闯关成功记2分，要使团体总分为4分，则需要两人闯关成功

两人闯关成功的概率

即团体总分为4分的概率

……8分

（3）团体总分不小于4分，则团体总分可能为4分，可能为6分………9分

团体总分为6分，需要三人都闯关成功，三人闯关成功的概率…11分由（2）知团体总分为4分的概率

………12分

故该小组参加复赛的概率为。略21.已知递增的等差数列{an}中，a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{an}为等比数列，b1=．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记cn=an?bn，数列{cn}的前n项和为Tn．求证：Tn＜2．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）解方程x2﹣12x+27=0，可得a2=3，a5=9．利用等差数列与等比数列通项公式即可得出．（2），利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）解x2﹣12x+27=0得x1=3，x2=9，因为{an}是递增，所以a2=3，a5=9…解，得，所以an=2n﹣1

…又由，，得q=，…所以．

…（2）………两式相减得：=，…所以＜2…22.已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率之和等于．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过椭圆内一点M（1，1）作一条弦AB，使该弦被点M平分，求弦AB所在直线方程．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出椭圆的焦点和离心率，进而得到双曲线的离心率和焦点，再由椭圆的a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设出弦AB的端点的坐标，代入椭圆方程和中点坐标公式，运用作差，结合平方差公式和斜率公式，由点斜式方程即可得到直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）双曲线的焦点为（0，