2022年浙江省宁波市鄞州实验中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022年浙江省宁波市鄞州实验中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b为非零实数，若a＞b且ab＞0，则下列不等式成立的是(

)A．a2＞b2 B．＞ C．ab2＞a2b D．＜参考答案：D【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A．取a=1，b=﹣2，即可判断出；B．取a=1，b=﹣2，即可判断出；C．取a=2，b=1，即可判断出；D．由于a，b为非零实数，a＞b，可得，化简即可得出．【解答】解：A．取a=1，b=﹣2，不成立；B．取a=1，b=﹣2，不成立；C．取a=2，b=1，不成立；D．∵a，b为非零实数，a＞b，∴，化为，故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．2.若，且恒成立，则的最小值是(

)A. B. C.1 D.参考答案：B3.如果把一个多边形的所有边中的任意一条边向两方无限延长称为一直线时,其他个边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫凸多边形.平行内凸四边形由2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸16变形的对角线条为(

)A．65

B．96

C.104

D．112参考答案：C4.把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组只有一组解的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】可得方程组无解的情况共（2，3）（4，6）两种，进而可得方程组只有一组解共有36﹣2=34种情形，由概率公式可得．【解答】解：由题意可得m和n的取值共6×6=36种取法，而方程组无解的情况共（2，3）（4，6）两种，方程组没有无数个解得情形，故方程组只有一组解共有36﹣2=34种情形，∴所求概率为P==故选：D5.设椭圆和x轴正半轴交点为A，和y轴正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，那么四边形OAPB面积最大值为 ()A.

B.

C.

D．2ab参考答案：B6.若双曲线的离心率为2,则等于（）A． B． C． D．参考答案：D7.从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各台，则不同的取法共有（

）A．种

B.种

C.种

D.种参考答案：C略8.已知既有极大值又有极小值，则的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（

）

A．(，)

B．(，0)∪(0，)

C．[，]

D．(，)∪(，+)参考答案：B10.设a>0，b>0，，，则A．P＞Q

B．P＜Q

C．P≥Q

D．P≤Q参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设焦点是、的双曲线在第一象限内的部分记为曲线，若点都在曲线上，记点到直线的距离为,又已知，则常数___________．参考答案：略12.对一块边长为1的正方形进行如下操作:第一步,将它分割成3x3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1=；第二步,将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推，到第?步,所得图形的面积Sn=()n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则(I)当n=1时,所得几何体的体积V1=______.(II)到第n步时，所得几何体的体积Vn=______.参考答案：，（1）（2）13.展开式中的常数项为________________.参考答案：-514.位于坐标原点的质点M按下述规则移动，质点每次移动一个单位；移动方向只能为向上或向右；向上移动的概率为。质点M移动4次后位于点Q（3，1）的概率是

。参考答案：略15.已知函数，则_______.参考答案：0【分析】求导即可求解.【详解】因为，所以.【点睛】本题考查导数的运算，属于基础题.16.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于

参考答案：1217.通过观察所给两等式的规律：①②请你写出一个一般性的命题：__________________________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.数列{an}的前n项和是Sn，a1＝5，且an＝Sn－1(n＝2，3，4，…).(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：参考答案：(1)解：依题意得两式相减得：an＋1－an＝an，即(n＝2，3，4，…).∴a2，a3，a4，…构成首项为a2，公比为2的等比数列.∵a2＝S1＝a1＝5，∴an＝5·2n－2(n≥2).∴(2)证明：.19.已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。

(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。

参考答案：解：（1）设双曲线C2的方程为

则a2=4-1=3，c2=4，

再由a2+b2=c2，得b2=1，

故C2的方程为。--------5分

（2）将代入

得（1-3k2）x2-6kx-9=0--------7分

由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

--------9分

∴且k2＜1①

设A（x1，y1），B（x2，y2）则--------10分

∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+）（kx2+）

=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+2=-

又∵得x1x2+y1y2>2

∴，即

解得

②

由①②得

故k的取值范围为。--------12分

略20.平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：（a＞b＞0）右焦点的直线l：y=kx﹣k交C于A，B两点，P为AB的中点，当k=1时OP的斜率为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）x轴上是否存在点Q，使得k变化时总有∠AQO=∠BQO，若存在请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）将直线y=x﹣1代入椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和中点坐标公式，解得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）因为l：y=kx﹣k过定点（1，0），所以c=1，a2=b2+1．当k=1时，直线l：y=kx﹣k，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），化简得（2b2+1）x2﹣2（b2+1）x+1﹣b4=0，则，于是，所以AB中点P的坐标为，OP的斜率为，所以b=1，．从而椭圆C的方程为；（Ⅱ）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立，化简得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以，，直线AQ的斜率，直线BQ的斜率．，当m=2时，kAQ+kBQ=0，所以存有点Q（2，0），使得∠AQO=∠BQO．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用联立直线和椭圆方程，运用中点坐标公式，考查存在性问题的解法，注意运用联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.（本小题满分i2分）

已知数列的前n项和为，

(1)求；

(2)猜想的前n项和的公式，并用数学归纳法证明．参考答案：(1);(2)见解析22.调查者通过询问64名男女大学生在购买食品时是否看营养说明，得到的数据如表所示：

看营养说明不看营养说明合计男大学生26632女大学生141832合计402464问大学生的性别与是否看营养说明之间有没有关系？附：参考公式与数据：χ2=．当χ2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当χ