函数的单调性（第一课时）-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章

一元函数的导数及其应用

5.3.1

函数的单调性（第一课时）

学习目标1.巩固对函数的导数的几何意义的理解

2.利用导数研究函数的单调性．

一

新课引入

导数的几何意义是什么？

二

讲授

新课

问题1图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象.a=,b是函数h(t)的零点.

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？观察图象可以发现：(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h′(t)>0.

(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h′(t)<0.

我们看到，函数h(t)的单调性与h′(t)的正负有内在联系.那么，我们能否由h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？对于高台跳水问题，可以发现：当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)上单调递增；当t∈(a,b)时，h′(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)上单调递减.问题：在区间(a,b)上，h′(t)<0

，

在区间(a,b)上，h(t)单调递减

；在区间(a,b)上，h′(t)>0，在区间(a,b)上，h(t)单调递增.可以推广到一般函数吗？

观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系

xyOy＝x(1)xyOy＝x2(2)xyOy＝x3(3)xyO(4)以函数f(x)=x2为例：导数f′(x0)表示函数的图像在点（x0，

f(x0)）处的切线的斜率。

在x=x0

处，f′(x0)>0，切线是“左

下右上”的上升式，函数f(x)=x2

，

的图像也是上升的，函数f(x)=x2

附近单调递增

；

在x=x1处

，

导数f′(x1)表示函数的图像在点（x1，

f(x1)）处的切线的斜率，f′(x1)<0，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)=x2

的图像也是下降的，函数f(x)=x2

附近单调递减

。.一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：

在某个区间(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；

在某个区间(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

特别地：如果在某个区间上恒有f′(x)=0，

那么函数f(x)是常值函数。

例1利用导数判断下列函数的单调性：

（1）

（2）

（3）

解:（1）因为，其定义域为Ｒ.

所以

所以，函数

在Ｒ上单调递增，

如图所示：（2）因为

，

所以

所以，函数在上单调递减，如右图所示..（3）因为，

所以

所以，函数

在区间和上分别单调递增，

如图所示：例2已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x<1，或x>4时，f′(x)<0当x=1，或x=4时，f′(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.解：当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在区间(1,4)上单调递增；当x<1，或x>4时，f′(x)<0，可知f(x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)都单调递减；当x=1，或x=4时，f′(x)=0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”

如下图所示：

三巩固练习

判断下列函数的单调性：

(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.

分析:

(1)f(x)=x2-2x+4是二次函数，其定义域为R.

所以其对称轴方程为x=1，又因为f(x)的图象开口向上

所以，函数f(x)=x2-2x+4在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.

(2)因为f(x)=ex-x，其定义域为R.所以f′(x)=ex-1.

令f′(x)=0，得x=0

所以当x∈(-∞,0)时，f′