幂函数教案-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

.3幂函数学情分析高一的学生已经基本具备抽象概括，逻辑推理的能力，作为三种基本初等函数中最为灵活的函数，幂函数的定义域与值域的限定条件多，难度大。在研究性质的过程中，在多种分类的前提下，学生必须通过函数的定义域，奇偶性等性质从而得出函数的完整图象，因此这里对数形结合思想的要求高，幂函数y=xa教材分析本节课主要内容是幂函数的概念、图象与性质。幂函数作为一类重要的基本初等函数模型，在高中数学中占有重要的地位，并且为今后继续学习其他基本初等函数打好基础。其中所蕴含着函数思想，数形结合思想，对称思想，类比的思想。本节课重点要求的从特殊到一般的方法，归纳概括能力，也是学生在高中阶段重点掌握的能力。教学目标了解幂函数的基本概念通过探究幂函数y=x，y=x2，y=x3，理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合处理幂函数的有关问题。四、教学重难点重点：幂函数的定义、图象和性质。难点：从幂函数图象的直观特点上升到理性认识，归纳、概括函数的性质。幂函数的不同分类。五、教法与学法教法：探究式教学法，启发式教学法学法：探究学习法六、教学过程（一）创设情境，引入概念（10min）【教师活动】：导语：在前几节课我们已经深切体会到了函数是研究客观世界的基本模型，今天我们来学习一种基本初等函数。首先来看几个具体的问题。（1）若张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=w元。（2）若正方形的边长为a，那么正方形的面积为S=a（3）若立方体的边长为a，那么立方体的体积为V=a（4）若正方形的面积为S，那么它的边长为a=（5）若小明在t秒内骑车行进了1千米，那么他骑车的平均速度为v=师：说明p是关于w的正比例函数，S是关于a的二次函数，V是关于a的函数a是关于S的函数，v是关于t的反比例函数。使学生对函数的概念进一步巩固。提问1：观察以上函数有什么共同点？比如从形式上等。（使学生思维尽可能发散）形成概念：一般地，我们把形如y=xa的函数叫做幂函数，其中x说明此处的a∈提问3：在知道一个函数是幂函数的前提下，需要几个点的信息才能得出函数的解析式？问题1：判断下列函数是不是幂函数y=x23；（2）y=x;（3）y=3（6）y=1；（7）y=总结：首先观察函数的系数是不是为1，并且仅有一项；然后化为幂函数的基本新形式。设计意图：通过生活例子引入课题，有利于学生体会数学与生活的联系，建立新旧知识的联系，经历观察抽象概括出幂函数的概念，在问题1中进一步理解幂函数的含义。（二）数形结合，研究性质（15min）【教师活动】导语：为了研究一类函数的性质，通常采用数形结合思想，从特殊到一般的思想，从“数——形——性质（定义域，值域，奇偶性，单调性，最值，定点）”，通过列表画图以直观得出某些特征。（让学生自己说出要研究哪些性质）提问1：幂函数的不同性质，通过a的变化体现，为全面研究幂函数，可以选取哪些具有代表性的a来研究？追问：有没有必要再研究a=-2，0，23提问2：对于这5类函数，函数的定义域是怎么样的？在连续的一段定义域中，函数的图形是不是连续的？任务：完善表格中的部分信息，如定义域，奇偶性。在给定的方格纸上，用描点法作出5种函数的图象，用不同颜色的笔区分。提问3：在作图过程中，我们发现这些图象在第一象限均有图象，但在其他象限不一定，那如何判断这个函数图象经过哪些象限？在作图中有没有必要再在这些象限重新描点作图？教师指导学生先完成表格中的“定义域”、“奇偶性”两栏；请两位学生上台作图，并且给予点评强调注意点；之后用几何画板作图，先给出静态的5种函数图象，再让学生猜测其他情况，最后给出a从(−∞,+∞)动态变化的图象。【学生活动】预设1:a=1，2，3，12，-a=-2包含在负数的类别中,a=0时，函数可简单写成y=1，a=预设2：前三者定义域为R，后两者分别为(0,+∞)，预设3：通过函数的奇偶性判断，奇函数在第一、三象限有图象，偶函数在第一、二象限内有图象，非奇非偶函数仅在第一象限内有图象。注意：y=x五种函数图象设计意图：通过教师提问2为用描点法画图的合理性提供依据。让学生自己动手画图是幂函数教学的关键，有利于学生主动发现其规律性质，并且具有深刻的印象。教师用几何画板画图，让学生认识标准的静态图象，调整手工的误差，尤其通过动态图形的模拟，对幂函数有进一步的认识。（三）比较探究，归纳性质（13min）【教师活动】探索研究先从给出的5类具体的幂函数入手，再根据其间共性，拓展到一般的幂函数会又怎样的性质，根据a的情况进行分来讨论。导语：通过作图，5种基本的幂函数图象已经呈现在我们眼前，通过观察我们来看看这几种幂函数究竟有怎样的性质。请先完成以下表格：y=xy=y=y=y=定义域RRR(0,+∞)(−∞,+∞)值域R(0,+∞)R(0,+∞)(−∞,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶偶函数单调性在R上单调递增在−∞,0单调递减，在(0,+∞)上单调递增在R上单调递增在(0,+∞)单调递增在−∞,0，(0,+∞)上单调递减最值无最小值0无最小值0无定点（1,1），（0,0）（1,1），（0,0）（1,1），（0,0）（1,1），（0,0）（1,1）注意：在填定点那一栏时，值得一提的是这里的定点指的是这一类函数是否过一个定点。师：我们发现虽然我们把幂函数细致为5种类型，但是这几种类型联系紧密，互有交集，若单独探索则容易切断它们的联系，若每次根据某一性质重新分类，则容易导致分类混乱，根据以上的表格将研究分为a>0，a<0两个背景下归纳幂函数的性质比较合适。提问1：先从以上五个幂函数进行分析，请你说一说这几个函数有什么共同点？（单调性先仅针对第一象限来说）提问2：请你猜想一下，拓展到一般的幂函数，幂函数在所有象限内都有图象吗？当a>0时，函数的单调性如何？函数是否经过某定点？当0<a<1与a>1时，函数图象是怎么弯的？那当a<0时，情况又是怎样的？追问：为什么经过第一象限了，就不会再经过第四象限？提问3：当a=0时，函数的图象是怎样的？追问：有没有在哪点是没有意义的？教师通过几何画板验证猜想。总结：最后根据函数的奇偶性，得出其他象限的情况。【学生活动】预设1：1、这五个函数都通过点（1,1）；2、函数y=x，y=x3，y=x3、在第一象限内，y=x，y=x2，y=x3和预设2：幂函数的图象均经过第一象限，不经过第四象限。根据函数的定义，对于定义域中的任意一个x，都有唯一一个y与之对应。当a>0时，函数在第一象限内单调递增，经过定点（1,1），（0,0）；当a<0时，函数在第一象限内单调递减，经过定点（1,1）。当0<a<1时，函数先增得快，后增得慢，呈现出上凸的形状；当a>1时，函数先增得慢，后增得快，呈现出下凸的形状。预设3：当a=0，幂函数的图象是一条直线y=0。不是真正意义上的直线，去掉了（0,1）这一点。幂函数性质图设计意图：探究部分的性质多，分类多，因此给学生呈现流程图，有助于其直观形象地掌握各种性质间的逻辑联系。在探索过程中体现了从特殊到一般的思想，用清晰的条理应对本节课的重难点，使学生在参与的过程中，提高归纳概括的能力。通过几何画板验证猜想，辅助探究体现了数学学习的严谨性。（四）例练结合，巩固提高（4min）例1证明幂函数fx=x分析：从形的角度，通过图象可以轻易得出此函数的单调性。从数的角度，必须通过定义法进行证明，经历作差，化简，定号，下结论的步骤，得出此函数是增函数。设计意图：本节课的重点是探究性质，在教学中侧重图象教学，在探究环节做到了详尽的过程，体现了研究性学习。因此由于时间的限制，在这一模块仅安排一个例题，回归函数的基本性质——增减性，通过证明完善学生对基本函数的认知。（五）课堂小结，作业布置（3min）小结1、请学生发言回顾当a>0，a<0的两种大分类下，幂函数的基本性质。2、注意点：充分利用函数奇偶性进行探究，体会奇偶性的妙处。当a