5全称量词与存在量词-【新教材】人教A版2019高中数学必修第一册讲义

新教材必修第一册1.5：全称量词与存在量词课标解读：.全称量词的定义.（理解）.存在量词的定义.（理解）.全称量词命题的否定.（理解）.存在量词命题的否定.（理解）学习指导：.本节的重点是对全称量词和存在量词的理解，难点是对含有一个量词的命题的否定.本节的学习中，要重点关注全称量词命题与存在量词命题的真假判断和全称量词命题与存在量词命题的否定，熟记一些全称量词与存在量词的不同表示方法，并能够熟练运用其表示符号.知识导图：存在01・存词称与存在01・存词称与・全词在教材全解

知识点1:全称量词与全称量词命题(重点)1.全称量词与全称量词命题全称量词定义短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词符号表示V全称量词命题定义含有全称量词的命题叫做全称量词命题一般形式对于M中任意一个x,p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围)符号表示VeM，p(x)2.全称量词命题的真假判断(1)要判定全称量词命题“VxeM,p(x)”是真命题，需要对集合M中每一个元素*，证明p(x)成立；(2)要判定全称量词命题“VxeM,p(x)”是命题，只需举一个反例，即如果在集合M中找到一个元素x°，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.例1-1：指出下列命题中的量词，判断其是否为全称量词（1）所有人都是黄皮肤；（2）一切素数都是基础；（3）凡是我们学校的学生都要住校.答案：（1）中的“所有”，（2）中的“一切”，（3）中的“凡是”，都是全称量词.例1-2：下列语句中既是命题又是全称量词命题的是.（1）对任意实数「x2+1>2;（2）有一个实数a，a不能取对数；（3）每一个向量都有方向吗？答案：（1）（2）是命题，（3）不是命题，其中（1）中含有全称量词，所以（1）是全称量词命题，故选（1）.例1-3：用量词符号表示下列全称量词命题：（1）任一个实数乘以-1都等于它的相反数；（2）对任意实数x，都有X3八2.答案：（1）VXGR,x-（-1）=一x（2）VXGR,X3>X2.知识点2：存在量词与存在量词命题（重点）.存在量词与存在量词命题存在量词定义短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词符号表示3全称量词命题定义含有存在量词的命题，叫做存在量词命题一般形式存在M中的元素x,p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围)符号表示3eM，p(x).存在量词命题的真假判断(1)要判定存在量词命题匕xeM,p(x)”是真命题，只需在集合m中找到一个元素x，使p(x)成立即可；要判定一个存在量词命题是假命题，需对集合M中任意一个元素x，证明p(x)都不成立.例2-4：用符号“>'表示下列存在量词命题：(1)存在一个实数对(x,y)，使2x+3y+3<0成立；(2)至少有一个整数x，使(2x+3)3<0；(3)有些整数既能被2整除，又能被3整数;(4)某个四边形不是平行四边形.答案：(1)3(x,y)e{(x,y)IxeR,yeR},2x+3y+3<0.(2)3xeZ,(2x+3)3<0.(3)3xeZ,x既能被2整除，又能被3整除.(4)3xe{xIx是四边形}，x不是平行四边形.例2-5：下列语句中，是全称量词命题的是，是存在量词命题的是①菱形的四条边都相等；②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；③负数的立方根不等于0；④至少有一个负整数是奇数；⑤所有的有理数都是实数吗？答案：①②③ ④知识点3：全称量词和存在量词命题的否定(重点)题的否定（1）定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这个新的命题称为原命题的否命题.命题p的否定可用“「p”来表示.（2）命题的否定与原命题的真假关系命题的否定与原命题的真假性可用下表（真值表）表示：因此，p的否定的真假性可用一句话概括一一p的否定与p“一真一假”.（3）常见词语的否定词语:原词等于（=）大于（＞）小于（＜）是都是至多有一个至多有n个至少有一个否定不等于（#）不大于（W）不小于（三）不是不都是至少有两个至少有（n+1）个一个也没有2.全称量词命题与存在量词命题的否定命题类型全称量词命题存在量词命题形式VeM,p(x)3eM,p(x)否定形式3eM，「p(x)VeM，「p(x)结论全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词的否定是全称量词命题例3-6：写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）p:3+4>6;p：2,3都是8的约数p：2020年是闰年.答案⑴」p:3+4<6是假命题.（2）「p:2,3不都是8的约数，是真命题.⑶」p：2020年不是闰年，是假命题.例3-7：试写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）6是2或3的倍数；（2）6是2和3的倍数.答案（1）否命题：6不是2的倍数且6不是3的倍数是假命题.（2）否命题：6不是2的倍数或6不是3的倍数，是假命题.例3-8：（1）命题“对于任意的xeR，x3-x2+1<0”的否定是（）A.不存在xeR,x3-x2+1<0B.存在xeR,x3-x2+1>0C.对任意的xeR,x3-x2+1>0D.存在xeR,x3-x2+1>0(2)命题“3xeR,x3-x2+1=0”的否定是()A.3xeR,x3-x2+1丰0B.不存在xeR,x3-x2+1中0C.对任意的xeR,x3-x2+1=0D.对任意的xeR,x3-x2+1牛0答案：(1)D(2)D重难拓展知识点4：全称量词命题与存在量词命题的不同表述对于同一个全称量词或存在量词命题，可以有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择，如下表：

命题全称量词命题(VeM，p(x))存在量词命题(3eM，p(x))表所有的xeM,p(x)成立存在xeM,p(x)成立述对一切的xeM,p(x)成立至少有一个切的xeM,p(x)成立方对每一个xeM,p(x)成立对有些xeM,p(x)成立法任选一个xeM,p(x)成立对某个xeM,p(x)成立凡xeM,p(x)成立有一个xeM,p(x)成立例4-9:设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方法写出全称量词命题：VxeN,p(x).答案：①对所有的自然数x,2x是偶数.②对一切自然数x,2x是偶数.③任选一个自然数x,2x是偶数.④对任意的自然数x,2x是偶数.⑤对每一个自然数x,2x是偶数.(答案不唯一)解题指导题型1:全称量词命题与存在量词命题的真假判断例10：判断下列命题的真假.（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（羽y）都对应一点P.（2）每一条线段的长度都能用正有理数来表示.（3）至少有一个直角三角形不是等腰三角形.（4）存在一个实数X，使得方程X2+X+8=0成立.（5）3xgR,X2-3X+2=0•（6）Vx,ygZ,（x-y）2=x2-2xy+y2.答案：（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题；（5）真命题；（6）真命题.变式训练：试写出下列命题的真假.3xgZ,x3<1;3xgQ,x2=3.答案：（1）真命题；（2）假命题.题型2：含有一个量词的命题的否定例11：写出下列命题的否定：（1）VxeR,Ix1+1-x中0;（2）3aeR,一次函数尸x+a的图像经过原点.答案：（1）命题的否定：3xeR,IxI+1-x=0;（2）VaeR,一次函数y=x+a的图像不经过原点.例12：写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p:每一个素数都是奇数；（2）p：与同一条直线垂直的两条直线平行；（3）p：有些实数的绝对值是正数；（4）p：某些平行四边形是菱形.答案：（1）「p:存在一个素数不是奇数，是真命题.（2）「p:存在两条与同一条直线垂直的直线不平行，是假命题.（3）「p：所有实数的绝对值都是正数，是假命题.(4)「p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题.变式训练：存在量词命题“3x年M,p(x)”的否定是()A.VxeM,「p(x) B.VxeM,「p(x)C.VxeM,「p(x) D.VxeM,「p(x)答案：C题型3：含有一个量词的命题的求参问题例13：已知p：3xeR,mx2+1<0,q:VxeR,x2+mx+1>0.若命题p，命题q至少有一个为真命题，则实数m的取值范围是.答案：{mIm<2}变式训练：命题“3xeR,2x2-3ax+9<0”为假命题，则实数a的取值范围为.答案：-2；2<a<2.2易错题型易错点1:对含有一个量词的命题否定不完全例14：已知命题p:存在一个实数「使得x-2<0,写出「p:答案：对任意实数x，都有x—2>0.易错点2：写命题的否定时忽略隐含的量词至错例15：写出下列命题的否定：（1）可以被5整除的数，末位上是0；（2）若x〉1，则2x+1〉5.答案：（1）有些数可以被5整除，末位上不是0；⑵3x>1,2x+1<5.品味fWj考考向：求含有量词命题的否定例16:（浙江高考题）命题“依£见加eN，使得心举”的否定形式是（）+A.VxgR,3ngN，使得〃<12.+，使得〃<12.+C.3xeR,3neN，使得〃<X2.+0.3xeR,\/xeN，使得〃<12.+答案：D变式训练：（重庆高考题）命题“对任意都有X220”的否定为（）A.对任意无金R,都有<0B.不存在工£尺，使得12<0C.存在xwR，使得X2>0D.存在使得12<0答案：D变式训练：（新课标全国卷工）设命题p:皿eN,〃2>2”，则「以为（）A.VxeN,〃2>2" B.mxeN,〃2«2”VxeN,n2<In3xVxeN,n2<In3xeN,〃2=2〃答案：C基础巩固:1.命题“存在实数X，使X〉1”的否定是（ ）A.对任意实数A.对任意实数x，都有x>1C.对任意实数x，都有x<12.下列命题中，为假命题的是（A.、.2不是有理数C.方程2x2+3x+21=0没有实数根B.不存在实数x，使x<1D.存在实数x，使x<1）B.冗w3.14D.等腰三角形不可能有120°的角.下列命题不是“3xeR,x2>3”的表述方法的是（ ）.A.有一个xeR，使得x2>3成立B.对有些xeR，x2>3成立C.任选一个xeR，都有x2>3成立 D.至少有一个xeR，使得x2>3成立.对于二次函数y二ax2+bx+c.命题“对于任意a>0，二次函数y二ax2+bx+c.的图像开口向上”的否定是..已知命题p：3x>0,x+a-1=0.若p为假命题，则a取值范围是.综合提升.设xeZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：VxeA,2xeB，则（ ）.

A.-np：VxeA,2xA.-np：VxeA,2x任BB.「P：Vx任A,2x任BC.^p:3x^A,2xeB :BxgA,2xBTOC\o"1-5"\h\z.已知集合a={xI1Vx£2}，则命题“VxeA,x2一建0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）.A.（2>4 B.”v4 C.>5 D.“v5.下列关于命题“弘£氏使得以+%+1<0”的否定说法正确的是（ ）.VxeR?均有x2+x+l<0,假命题VxeR?均有工2+工+120，真命题C.3xe7?>使得x2+x+120，假命题D.3xe7?>使得工2+工+1=0，真命题9.能够说明“存在两个不相等的正数“力，使得〃“二仍是真命题”的一组有序实数对（〃力）为.工。.命题“*eR,X2+2X+建0”是假命题，则实数加的取值范围是.工L已知集合a={%11v%v2}，命题p:VxeA,x2—a>0,命题q:三％eA,%2+2ax+2=0,若夕、q都是真命题