2022年广东省深圳市上步中学高三数学文模拟试卷含解析

2022年广东省深圳市上步中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集椭圆上有两个动点、，，，则·的最小值为A.

6

B.

C.

9

D.参考答案：A设P点坐标为，则，所以，因为，所以的最小值为。所以·，所以·的最小值为6.2.如图是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（

）A．6

B．12

C．24

D．32参考答案：C3.已知两个不相等的非零向量，，两组向量均由，，，和，，，均由2个和2个排列而成，记S=?+?+?+?，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数为（）①S有3个不同的值；②若⊥，则Smin与||无关；③若∥，则Smin与||无关；④若||=2|，Smin=4，则与的夹角为．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意得到所有的S值判断①，利用作差法求得S的最小值结合向量垂直、平行及数量积运算判断②③④，则答案可求．【解答】解：由题意可知，S=?+?+?+?有三个值，分别为、、．∴①正确；∵﹣=，﹣=，∴．若⊥，则Smin=0与||无关，∴②正确；若∥，则Smin=，与||有关，∴③错误；若||=2|，Smin=4，则cos＜＞=，与的夹角为，故④正确．∴命题中正确的个数为3个．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查平面向量的数量积运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．4.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如下图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C由三视图可知，三棱柱空间结构如下图所示：由左视图和主视图可知，主视图为等腰直角三角形，且直角边长为，斜边长为2所以两个底面面积为侧面由三个面组成，其中两个面是全等的，底为2，高为；另外一个面底为2，高为2。侧棱与底面垂直，所以所以表面积为所以选C

5.执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出S=（）A． B． C．D．

参考答案：B【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i值，利用裂项相消法计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵输入n=10，∴跳出循环的i值为12，∴输出S=++…+=++…+=（1﹣）×=．故选：B．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，tanA＝，cosB＝.若△ABC最长的边为1，则最短边的长为()A.

B．

C．

D．参考答案：D选D由cos

B＝知B为锐角，∴tan

B＝，故tan

C＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－＝－1，所以∠C＝135°，故边c最长，从而c＝1，又tan

A＞tan

B，故b边最短，∵sin

B＝，sin

C＝，由正弦定理得＝，所以b＝＝，即最短边的长为，故选D.7.若，则(

)A．2017 B．2018

C．2019

D．1004参考答案：B8.若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=(

) A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．9.执行如图所示的程序框图，则输出的s值为（[x]表示不超过×的最大整数）(

)(A)4

(B)5

(C)7

(D)9参考答案：C10.过原点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）如图，点P为圆O的弦AB上的一点，连接PO，过点P作PC⊥OP，且PC交圆O于C．若AP=4，PC=2，则PB=．参考答案：考点： 与圆有关的比例线段．专题： 计算题；几何证明．分析： 根据题设中的已知条件，利用相交弦定理，直接求解．解答： 解：延长CP，交圆于D，则∵AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，∴PC=PD，∴利用相交弦定理可得AP×PB=PC×PD=PC2，∵AP=4，PC=2，∴PB=1．故答案为：1点评： 本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意相交弦定理的合理运用．12.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝

.参考答案：【解析】由答案：13.函数的图像如图所示，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是_______________．

参考答案：略14.已知向量=（1，m），=（3，﹣2）且（+）⊥，则m=

．参考答案：8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直的等价条件转化为向量数量积为0进行求解即可．【解答】解：∵（+）⊥，∴（+）?=0，即（4，m﹣2）?（3，﹣2）=0．即12﹣2（m﹣2）=0，得m=8，故答案为：8．15.观察下列等式：；；；…，根据上述规律，第个等式为___________________________

_．参考答案：略16.若函数满足,当时,，若在区间上，有两个零点，则实数的取值范围是

参考答案：17.已知，且与的夹角为，，则等于

参考答案：-略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：=1（a＞b＞0），其中F1，F2为左、右焦点，O为坐标原点．直线l与椭圆交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同点．当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为．又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为﹣1．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为时，求平行四边形OQNP的对角线之积|ON|?|PQ|的最大值；（Ⅲ）若抛物线C2：y2=2px（p＞0）以F2为焦点，在抛物线C2上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，可得直线l的方程为：y=x﹣c．由原点O到直线l的距离为，可得，解得c．又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为﹣1，可得﹣1，解得a，b2=a2﹣c2．即可得出椭圆C的方程．（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=﹣y2，由=1，|2x1?2y1|=，可得|ON|?|PQ|=．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由△＞0，解得3k2+2＞m2．利用根与系数的关系可得|PQ|=，原点到直线l的距离d=，利用S△POQ==，化为3k2+2=2m2，满足△＞0．设M（x0，y0）为PQ的中点，可得=，|PQ|2=，可得|OM|2|PQ|2=，利用基本不等式的性质即可得出．（III）由题意可得抛物线C2：y2=4x，由以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，可得∠ORS=90°．可得=0．设S（x3，y3），R（x4，y4），可得y4（y4﹣y3）=﹣16．利用基本不等式的性质可得y3≥8，或y3≤﹣8，x3≥16．即可得出．解答：解：（I）直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，∴直线l的方程为：y=x﹣c．∵原点O到直线l的距离为，∴，解得c=1．又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为﹣1，∴﹣1，解得a=，∴b2=a2﹣c2=2．∴椭圆C的方程为．（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．①当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=﹣y2，由=1，|2x1?2y1|=，解得，|y1|=1．∴|ON|?|PQ|=．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，联立，化为（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由△＞0，解得3k2+2＞m2．∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|PQ|==，原点到直线l的距离d=，∴S△POQ===，化为3k2+2=2m2，满足△＞0．设M（x0，y0）为PQ的中点，则x0==，y0=kx0+m=．∴==，|PQ|2=，∴|OM|2|PQ|2=，当且仅当m=时取等号．∴|OM||PQ|的最大值为．∴|ON|?|PQ|=2|OM||PQ|的最大值为5．综上可得：ON|?|PQ|的最大值为5．（III）由题意可得抛物线C2：y2=4x，∵以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，∴∠ORS=90°．∴=0．设S（x3，y3），R（x4，y4），则=x4（x4﹣x3）+y4（y4﹣y3）=+y4（y4﹣y3）=0．∵y4（y4﹣y3）≠0，∴y4（y4﹣y3）=﹣16．∴≥8，或y3≤﹣8x3≥=16．∴该圆面积最小时点S的坐标为（16，±8）．点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.已知二次函数f（x）=x2+bx+c，方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜1．（Ⅰ）当x∈（0，x1）时，证明：x＜f（x）＜x1；（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜．参考答案：【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f（x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；【解答】证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又1＞0，得F（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+（x﹣x2）]因为0＜x＜x1＜x2＜1所以x1﹣x＞0，1+（x﹣x2）=1+x﹣x2＞1﹣x2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．综上x＜f（x）＜x1；（2）依题意知x0=﹣=因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程x2+（b﹣1）x+c=0的根．∴x1+x2=﹣b+1，x0==因为x2＜1，所以x0＜．【点评】本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．20.已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上是减函数，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当时，，又，所以.又，

所以所求切线方程为，即.

所以曲线在点处的切线方程为.………6分（Ⅱ）因为，

令，得或.………8分当时，恒成立，不符合题意.……………9分当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则解得.……………11分当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得.综上所述，实数的取值范围是或.…………13分

略21.已知函数f（x）=cosx﹣8cos4．（Ⅰ）求该函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数y=f（2x﹣）在x∈上的值域．参考答案：【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．（Ⅱ）根据函数y=f（2x﹣）求出解析式，x∈上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=cosx﹣8cos4．化简可得：f（x）=cosx﹣8（cos2）2=cosx﹣8（）2=﹣2cos﹣3（Ⅰ）∴该函数的最小正周期T==4π；（Ⅱ）由函数y=f（2x﹣）=﹣2cos（x﹣）﹣3．x∈上时，则x﹣∈[，]当2x﹣=，函数y取得最大值为﹣4．当2x﹣=0，函数y取得最小值为﹣5．∴函数y=f（2x﹣）在x∈上的值域为．22.在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如表所示：学生ABC