代数系统的一般性质

代数系统的一般性质第一页，共三十七页，2022年，8月28日第5章代数系统第二页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统成分：集合+运算公理：运算性质代数系统的构成代数系统的同构与同态代数系统间的关系映射半群与群环与域格与布尔代数子代数积代数商代数笛卡儿积等价关系子集新的代数系统分类生成第三页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统5.0近世代数简介5.1二元运算及其性质

5.2代数系统的同态与同构第四页，共三十七页，2022年，8月28日近世代数简介公元3世纪，中国数学家赵爽对于一元二次方程-x2+kx=c给出了一个根的公式我们现在熟知的一元二次方程的求根公式是由花拉子米在600年后建立的:第五页，共三十七页，2022年，8月28日近世代数简介三次和四次方程把数学家们难住了一千多年，直到塔塔利亚和卡丹的出现，才真正地发现了一般的三次和四次方程的求根公式。方程的解为：而一般的四次方程的解法是由卡丹的学生费拉里得出的。第六页，共三十七页，2022年，8月28日近世代数简介法国数学家拉格朗日发表论文《关于代数方程解的思考》，他认为次数不低于五次的方程的代数解法一般而言是找不到的，他试图证明这个理论的正确性，但是终以失败告终，然而这件事实却被两位天才的年轻数学家加以补充，并得到证明，而在他们的研究工作中诞生的新概念和新理论都将代数带入了一个新的时代，即近世代数时代。第七页，共三十七页，2022年，8月28日近世代数简介厄米特评价阿贝尔：“他工作中丰富的数学思想可以让数学家们忙碌500年。”他的论文《高于四次的一般方程的代数求解不可能性的证明》是代数学发展史上里程碑式的重大突破。（N.H.Abel，1802－1829）第八页，共三十七页，2022年，8月28日近世代数简介罗素说，他的死使数学的发展推迟了几十年。伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论。(Galois1811.10-1832.5)第九页，共三十七页，2022年，8月28日近世代数简介引例凯撒密码思考：明文和密文如何转换？如明文HELLOWORLD→？明文abcdefghijklmnopqrstuvwxyz密文DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC第十页，共三十七页，2022年，8月28日近世代数简介用数字0~25表示字母a~z，abcdefghijklmnopqrstuvwxyz012345678910111213141516171819202122232425则Z26={0,1,2,…,25},凯撒加密实现了如下转换过程：f:Z26→Z26

，x∈Z26,y=f(x)=(x+3)mod26上述<Z26,f>构成了一类代数系统：群第十一页，共三十七页，2022年，8月28日近世代数简介思考：更一般地，若加密函数变为y=(ax+b)mod26,如何解出x？

x=a-1(y-b)mod26第十二页，共三十七页，2022年，8月28日近世代数简介近世代数的内容：近世代数所要探讨的数学结构是由集合上定义若干运算而组成的系统——称为代数系统。主要介绍群、环、域、格、布尔代数等基本概念和理论。第十三页，共三十七页，2022年，8月28日近世代数简介近世代数特点：比较抽象。采用集合论的记号。对运算及其运算规律的重视。研究对象高度抽象，以便掌握最根本的性质。第十四页，共三十七页，2022年，8月28日近世代数简介近世代数学在计算机科学中的广泛应用：

(1)半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用；

(2)群论在计算机安全领域的重要作用；

(3)有限域的理论是编码理论的数学基础，在通讯中发挥了重要作用；

(4)格和布尔代数的理论成为电子计算机硬件设计和通讯系统设计中的重要工具。第十五页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统5.0近世代数简介5.1二元运算及其性质

5.2代数系统的同态与同构第十六页，共三十七页，2022年，8月28日二元运算及其性质代数系统二元运算二元运算的重要性质（重点）代数系统的特殊元素（重点）第十七页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统定义

代数系统

——集合及其上的运算

<S,f1,f2,...,fk>定义运算f

函数

f:S×S×…×S→S注：通常用符号“+”、“-”、“*”、“/”、“∩”、“∪”、“∧”、“∨”、“┐”、“★”、“☆”、“о”、“⊕”、“”、“”等抽象的符号来表示一个抽象的运算。封闭性第十八页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统例1

通常数的乘法运算是否可看作下列集合上的二元运算？请说明理由。（1）A={1,2}（2）B={x|x是素数}（3）C={x|x是偶数}（4）D={2n|n∈N}

第十九页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统例2几个比较重要的代数系统：(1)<Z,+>,“+”为普通加法。——

整数加群(2)<Zn,>

，“”定义为模n加法，xy=(x+y)modn.——模n加群(3)<P(S),>,“”为对称差运算。——对称差群(4)

<P(A)，∪,∩,>，“∪”,“∩”,“”为集合的并、交、补运算——集合代数(5)<{0,1},,,>,“”，“”，“”分别为命题的合取、析取、否定运算——布尔代数

第二十页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统运算表：xi◦(xi)x1x2…xn◦(x1)◦(x2)…◦(xn)一元运算表◦x1x2…

xnx1x2…xnx1◦x1x1◦x2…

x1◦xnx2◦x1x2◦x2…

x2◦xn…………xn◦x1xn◦x2…

xn◦xn二元运算表第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统例3

令A={a,b}，写出P(A)上的∩运算表。∩ΦΦ{a}{a}{a}{a}{a}{b}{b}{b}{b}{b}{a,b}{a,b}{a,b}ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ上表头元素左表头元素运算第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统练习

设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算如下：x◦y=(xy)mod5,x,yS.求◦的运算表。注：运算表可以直观地显示出运算所具有的某些性质。◦123412341234241331424321第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日二元运算的性质运算性质是代数系统的核心。根据运算的性质，可以将众多代数系统进行抽象分类，比如群，交换群，循环群，置换群，环，域，格，布尔代数，等等。第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日二元运算的性质定义设◦和*为S上的二元运算，(1)◦在S上可交换：x,yS,x◦y=y◦x.(2)◦在S上可结合：x,y,zS,(x◦y)◦z=x◦(y◦z).(3)◦适合幂等律：xS,x◦x=x.(4)*对◦可分配：x,y,zS,x*(y◦z)=(x*y)◦(x*z).(5)◦和*满足吸收律：x,yS,x*(x◦y)=x,x◦(x*y)=x.第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日二元运算的性质注：在满足结合性的集合上，可以定义元素的幂运算。

xx=x2x2x=xx2=x3xmxn=xm+n(xm)n=xmn(m,nZ+)第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日二元运算的性质例4

关于元素的幂，请计算：

(1)整数集上的加法+：13=？，乘法×：13=？(2)集合族P(S)上的对称差：A3=?（AP(S)）(3)集合Zn={0,1,2,...,n-1}上的模n加法：xy=(x+y)modn

求x3=?(xZn)第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日二元运算的性质例5在Z+上定义两个运算为：a*b=ab，a△b=a•b，其中“•”是普通乘法，试证明*对△是不可分配的。第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统的特殊元素定义

设◦为S上的二元运算，el,er,e,l,r,S，(1)

左幺元el：xS,el◦x=x.

右幺元er：xS,x◦er=x.

幺元(单位元)e：e既是左幺元，又是右幺元。(2)左零元l：xS,l◦x=l.

右零元r：xS,x◦r=r.

零元：既是左零元，又是右零元。(3)x的左逆元yl：xS,ylS,使得

yl◦x=e.x的右逆元yr：xS,yrS,使得x◦yr

=e.x的逆元y：y

S既是x的左逆元，又是x的右逆元。第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统的特殊元素定理(1)幺元存在唯一性。幺元是代数系统的幺元。(2)零元存在唯一性。零元是代数系统的幺元。(3)设◦在S上可结合，则逆元若存在，则唯一。

通常把这个唯一的逆元记作x-1.逆元依赖于元素x。注：在定义了幺元和逆元之后，元素的幂运算可以扩充至：

x0=e，xn=xxn-1xmxn=xm+n(xm)n=xmn(m,nZ)

第三十页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统的特殊元素例6

求以下各代数系统的幺元，零元及各元素的逆元（如果存在的话）。(1)<Z,+>,“+”为普通加法。(2)<Zn,>，“”定义为模n加法，xy=(x+y)modn.(3)<P(S),>,“”为对称差运算。(4)<P(S)，∪,∩>，“∪”,“∩”为集合的并、交运算<Z,+，0>，<Zn,，0>，<P(S),，

><P(S)，∪,∩，S，>

第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统的特殊元素例7关于元素的幂，请计算：(1)整数集上的加法+：1-3=？，乘法×：2-3=？(2)集合族P(S)上的对称差：A-3=?（AP(S)）(3)集合Zn={0,1,2,...,n-1}上的模n加法：xy=(x+y)modn

求x-3=?(xZn)第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统的特殊元素定义

设◦为S上的二元运算，如果x,y,zS满足以下条件：(1)若x◦y=x◦z且x不是零元，则y=z，(左消去律)

(2)若y◦x=z◦x且x不是零元，则y=z，(右消去律)就称运算◦满足消去律。第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统的特殊元素例8

对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的幺元、零元和所有的逆元。(1)<Z+,*>x,yZ+，x*y=lcm(x,y)，即求x和y的最小公倍数。(2)<Q，*>x,yQ，x*y=x+y-xy.第三十四页，共三十七页，2022年，8月28日代数系统的特殊元素解：(1)*运算可交换，可结合，是幂等的。xZ+，x*1=x，1*x=x，1为幺元，不存在零元。只有1有逆元，是它本身，其它整数无逆元。(2)*运算满足交换律，∵x,yQ，x*y=x+y-xy=y+x-yx=y*x.*运算满足结合律，