高等数学-第六章2011级

转化一阶微分方程第二节解分离变量方程一、可分离变量方程分离变量方程的解法:设y＝(x)

是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.例1.求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C

为任意常数)或说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为例3.

求下述微分方程的通解:解:

令则故有即解得(C为任意常数

)所求通解:练习:解法1分离变量即(C<0

)解法2故有积分(C

为任意常数)所求通解:思考与练习

求下列方程的通解:提示:(1)

分离变量(2)

方程变形为二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程

.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(

当C=0

时,

y=0

也是方程的解)(C

为任意常数)例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:

显然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

为任意常数)求解过程中丢失了.(h,k

为待可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k

(齐次方程)定常数),求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:

上述方法可适用于下述更一般的方程例4.

求解解:令得再令Y＝X

u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:得C=1,故所求特解为思考:

若方程改为如何求解?提示:三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程

.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程

;对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例1.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为例2.

求方程的通解.解:注意x,y

同号,由一阶线性方程通解公式

,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,

y为

自变量的一阶线性方程四、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)例4.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分方程的概念微分方程;初始条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据初始条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x

及

y=C

机动目录上页下页返回结束3.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.4.伯努利方程机动目录上页下页返回结束

找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程2)根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.5.解微分方程应用题的方法和步骤机动目录上页下页返回结束思考与练习判别下列方程类型:提示:

可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程机动目录上页下页返回结束备用题1.

求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出机动目录上页下页