ch单调性极值凹凸性拐点渐近线实用

会计学1ch单调性极值凹凸性拐点渐近线实用证明：第1页/共56页二、确定函数单调区间的步骤:1、确定函数定义域.第2页/共56页解第3页/共56页解:第4页/共56页函数的单调性证明不等式由例得步骤：证明第5页/共56页三、函数极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第6页/共56页函数在一点取得极值用导数表现出来极值是函数的局部性概念.第7页/共56页问题极值点在哪些点中寻找？如何判断是否为极值点？第8页/共56页定理

(必要条件)定义注意例如函数极值的求法第9页/共56页极值点导数为0和导数不存在的点第10页/共56页定理(极值点第一判别法)充分条件第11页/共56页求极值与单调区间的步骤：⑴求函数的定义区间；⑵求出函数的所有导数为0和导数不存在的点；⑶上述点将f(x)的定义区间分成若干子区间；⑷列表分析相应的f'(x),讨论单调性、极值情况；⑸写出结论。第12页/共56页例1解:D(f)=R列表讨论极大值极小值第13页/共56页练习：函数的不可导点,也可能是函数的极值点.列表讨论解:D(f)=R第14页/共56页定理:极值点第二判别法（对驻点判定)第15页/共56页例解：图形如下第16页/共56页第17页/共56页第18页/共56页C注意：若f”(x0)=0,此定理失效,用第一充分条件判断。第19页/共56页极值（点）求法小结定义域一阶导数求驻点或导数不存在的点判定第一判别法列表判定第二判定法注意使用条件第20页/共56页小结极值是函数的局部性概念驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)第21页/共56页作业：P107:1(4)(5)3(1)(4)第22页/共56页§4.4曲线的凸性与拐点、渐近线、画图一、曲线的凸性与拐点二、曲线的渐近线第23页/共56页研究函数形态，仅知单调性是不够的，例如oxyoxyoxy(1)(2)弯曲方向不同---凹凸性不同第24页/共56页第25页/共56页1定义:若在某区间内,曲线上任意一点处切线都在曲线的上方,则称该曲线是凸;若曲线上任意一点处切线,都在曲线的下方则称曲线在这个区间内是凹

。凸凹引例一、函数的凹凸性第26页/共56页图形上任意段弧位于所在弦的上方图形上任意段弧位于所在弦的下方第27页/共56页0xy0xy凸凹第28页/共56页凸性区间的判定Th：定理：设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,则（1）若在(a,b)内,则函数f(x)的图像为凸；（2）若在(a,b)内,则函数f(x)的图像为凹。2、拐点定义：连续曲线f(x)上凹与凸的分界点称为f(x)的拐点。0xy0xy0xy0xy第29页/共56页拐点？拐点oxy二、拐点第30页/共56页(1)求出函数的定义域;(2)求出二阶导数为零或不存在的点;(3)将上述点把定义域分成几个区间,(4)根据各区间内二阶导数的符号,列表讨论凹凸性。求函数的凹凸区间和拐点：第31页/共56页例解凹凸凹拐点拐点第32页/共56页不存在解第33页/共56页x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)-0+0-y∩拐点∪拐点∩第34页/共56页三、曲线的渐近线定义：当曲线y=f(x)上一动点P沿曲线趋向无穷(无限远离原点)时,若点P到某定直线L的距离趋向于零,则称直线L为曲线y=f(x)的渐近线通常我们把渐近线分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线三类。第35页/共56页曲线渐近线的求法第36页/共56页例如故,有水平渐近线两条:第37页/共56页第38页/共56页第39页/共56页(3)斜渐近线y=ax+boxy第40页/共56页第41页/共56页作业P1151(1)6(3)第42页/共56页求极值与单调区间的步骤：⑴求函数的定义区间；⑵求出函数的所有导数为0和导数不存在的点；⑶上述点将f(x)的定义区间分成若干子区间；⑷列表分析相应的f'(x),讨论单调性、极值情况；⑸写出结论。求最值的步骤：1求导数为零和导数不存在的点；2求以上点和端点的函数值;3比较找出最大值和最小值。第43页/共56页(1)求出函数的定义域;(2)求出二阶导数为零或不存在的点;(3)将上述点把定义域分成几个区间,(4)根据各区间内二阶导数的符号,列表讨论凹凸性。求函数的凹凸区间和拐点：第44页/共56页渐近线(3)斜渐近线y=ax+b第45页/共56页最优化问题：1.城市规划中道路如何设计最畅通；2.产品生产中，总希望成本最低，利润最大；3.汽车尾气的排放污染最小；4.人身体中的血管分支保证供血过程中心脏最节约能量等等。

最大最小值问题第46页/共56页§4.5、函数的最值及其在经济学中的应用

一、函数的最值二、最值在经济学中的应用第47页/共56页一、函数的最值及其求法1最值的存在性：闭区间上的连续函数一定存在最值。2最值的求法：可能存在于端点，驻点，导数不存在的点。第48页/共56页求最值的步骤：（端点和极值点中）1求导数为零和导数不存在的点；2求以上点和端点的函数值;3比较找出最大值和最小值。第49页/共56页例解：区域[-3,4]计算比较得第50页/共56页二、最大、最小值实际应用问题第51页/共56页最大边际利润原则利润函数L(x)

取最大值的必要条件：利润最大的必要条件：边际收益等于边际成本利润函数L(x)

取最大值的充分条件：第52页/共56页例：(1)已知某产品的销价为P(x)=200,总成本函数（1）总利润函数L(x)（2）边际利润（3）产量为多少时，利润最大？解：（1）第53页/共56页(2)某工厂生产某种产品，固定成本为200，多生产一件产品成本增加4，