chap工程力学解析实用

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本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。动力学

应用这一原理，将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，也称动静法。第1页/共45页3§16-1惯性力的概念·质点的达朗伯原理动力学

定义：质点惯性力

非自由质点M，质量m，受主动力，约束反力，合力质点的达朗伯原理第2页/共45页4动力学

该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。

采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式[例1]

列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度。第3页/共45页5动力学

选单摆的摆锤为研究对象虚加惯性力

角随着加速度的变化而变化，当不变时，角也不变。只要测出角，就能知道列车的加速度。摆式加速计的原理。解：由动静法,有

解得第4页/共45页6动力学§16-2质点系的达朗伯原理

对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：

设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有注意到 ,将质点系受力按内力、外力划分,则第5页/共45页7动力学对平面任意力系：对于空间任意力系：

实际应用时,同静力学一样任意选取研究对象,列平衡方程求解。用动静法求解动力学问题时，第6页/共45页8动力学

§16-3刚体惯性力系的简化

简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力和一个惯性力偶。

无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。第7页/共45页9动力学一、刚体作平动

刚体平动时惯性力系为一平行力系，其中心位于质心，故惯性力系合成为一过质心的合惯性力。第8页/共45页10动力学空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：主矢：二、定轴转动刚体

先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。主矩第9页/共45页11动力学向O点简化：向质点C点简化：作用在C点作用在O点第10页/共45页12动力学讨论：①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C。第11页/共45页13动力学讨论：②转轴过质点C，ac=0;但0，故惯性力系简化为一惯性力偶（与反向）第12页/共45页14动力学讨论：③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则（主矢、主矩均为零）第13页/共45页15动力学

假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为三、刚体作平面运动随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动：作用于质心第14页/共45页16动力学

对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：第15页/共45页17动力学[例1]

均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。

选杆AB为研究对象解：根据动静法，有虚加惯性力系：第16页/共45页18动力学第17页/共45页19动力学

[例2]

牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力

取轮为研究对象

解：由动静法，得：O及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M之最大值。虚加惯性力系：第18页/共45页20动力学由(1)得由(2)得N=P+S，要保证车轮不滑动，必须

F<fN=f(P+S)(5)

可见，f越大越不易滑动。

Mmax的值为上式右端的值。把(5)代入(4)得：O第19页/共45页21动力学§16-4定轴转动刚体的轴承动反力

静平衡与动平衡的概念

一、刚体的轴承动反力

刚体的角速度，角加速度（逆时针）主动力系向O点简化:主矢,主矩惯性力系向O点简化:主矢,主矩第20页/共45页22动力学第21页/共45页23动力学根据动静法：其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l,OA=l1,OB=l2可得第22页/共45页24动力学

由两部分组成：

使附加动反力为零，须有静反力附加动反力动反力

一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力；

一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消除。第23页/共45页25动力学对z轴惯性积为零，z轴为刚体在O点的惯性主轴；当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。过质心第24页/共45页26动力学

静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。二、静平衡与动平衡的概念动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力.第25页/共45页27动力学[例1]

质量不计的转轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡动平衡静平衡静平衡第26页/共45页28动力学

动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。[例2]

两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？(a)绳子上加力G(b)绳子上挂一重G的物体OO第27页/共45页29动力学

根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。达朗伯原理的应用

应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。第28页/共45页30动力学

①选取研究对象。原则与静力学相同。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。第29页/共45页31动力学

⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。⑦求解未知量⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。

的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。第30页/共45页32动力学[例2]

在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：(1)鼓轮的角加速度？(2)绳子的拉力？(3)轴承O处的支反力？(4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？第31页/共45页33动力学解：列出动静方程：取轮A为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶MQC如图示。取轮O为研究对象，虚加惯性力偶第32页/共45页34动力学运动学关系：，将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：列出动静方程第33页/共45页35动力学

[例3]

质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。

取系统为研究对象解：第34页/共45页36动力学虚加惯性力和惯性力偶：由动静法：列补充方程： 代入上式得：第35页/共45页37动力学[例4]

均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为，试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。解：(1)用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC=R,动能为：P第36页/共45页38动力学

主动力的功：由动能定理得对

t

求导数，则：(2)用达朗伯原理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶MQCP第37页/共45页39动力学列出动静方程：第38页/共45页40动力学[例5]

绕线轮重P，半径为R及

r

，对质心O转动惯量为IO，在与水平成角的常力T作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。解：由达朗伯原理，得将RQ、MQO代入上式，可得绕线轮作平面运动（纯滚动）第39页/共45页41动力学纯滚动的条件：F≤fN

第40页/共45页42动力学1.

物体系统由质量均为m的两物块