Ch 古典概型与几何概型

会计学1Ch古典概型与几何概型一、古典概型1.定义古典概型是指满足下列两个条件的概率模型：

（1）（有限样本空间）随机试验只有有限个可能结果，即基本事件总数为有限个；（2）（等可能性）每一个可能结果发生的可能性相同，即各基本事件发生的概率相同。

用数学语言可表述为：

（1）样本空间有限，即；（2）。第三节古典概型与几何概型第2页/共56页第1页/共56页

设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含m个样本点，则事件A出现的概率记为:2.古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义.

说明计算古典概型中事件A的概率，关键是要计算出样本空间中样本点总数和事件A包含的样本点数，这些数目的计算要用到排列组合的知识。第3页/共56页第2页/共56页第一类方法有

种方法第二类方法有

种方法

第

类方法有

种方法……做一件事共有

类方法完成这件事的方法总数：加法原理第4页/共56页第3页/共56页第一步有

种方法第二步有

种方法

第步有

种方法……做一件事共有个步骤完成这件事的方法总数：乘法原理第5页/共56页第4页/共56页（1）排列（从n个元素中取m个不同元素）排列选排列全排列不可重复选排列(不放回)可以重复选排列(有放回)不可重复(不放回)可以重复(有放回)【注】关于排列组合知识的简要回顾第6页/共56页第5页/共56页

(2)元素的分类将n个元素分为m类，每类分别有k1,k2,…km

个，总共的分类方式有：k1个元素k2个元素km个元素……n个元素第7页/共56页第6页/共56页因为:上式称为多项系数。它是的展开式中的系数。第8页/共56页第7页/共56页

(3)环排列

从n个不同元素中，选出m个不同的元素排成一个圆圈的排列，共有：(4)组合从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的组合共有种.4123412311242343每个排列重复了4次排列数为第9页/共56页第8页/共56页常用组合公式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）可以利用等式来证明规定：0!=1,第10页/共56页第9页/共56页总结：从n个不同的元素中摸取m个元素(m≤n)（1）有放回摸取计序：不计序：（2）不放回摸取计序：不计序：第11页/共56页第10页/共56页从n个球中有放回不计序地摸取m个球：m个01234……m-5m-4m-3m-2m-1+11122……n-1n-1n-1n

n12356……n+m-6n+m-5n+m-4n+m-2n+m-1变换为所有摸取方法总数为：

从n个数中有放回地（即可以重复或不计序）取出m个数的一个组合相当于从1到n+m-1个不同的数中不放回取出m个数的一个组合变换是一一的第12页/共56页第11页/共56页111213222333

例如：从1，2，3中有放回不计序地摸取2个数，共有种：+010101010101

121314232434相当于从1,2,3,4中不放回地取出2个不可重复的数第13页/共56页第12页/共56页

例1.9

把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。

解将10本书放到书架上相当于将10个元素作一次排列，其所有可能的放法相当于10个元素的全排列数10！，由于书是按任意的次序放到书架上去，因此，这10！种排列中出现任意一种的可能性相同，这是古典概型。用A表示事件“指定的三本书放在一起”，则事件包含的样本点数为8！•3！，所以第14页/共56页第13页/共56页

例1.10

把1，2，3，4，5，6共6个数各写在一张纸片上，从中任取三张纸片排成一个三位数。问：（1）所得三位数是偶数的概率是多少？（2）所得三位数不小于200的概率是多少？

解从6个数中任取三个，可以排列成6×5×4=120个三位数，故基本事件总数为120。

(1)设A表示事件“三位数是偶数”，则A包含的基本事件数为3×5×4=60,故第15页/共56页第14页/共56页（2）设B表示事件“所得三位数不小于200”，只要百位数取2，3，4，5，6其中之一，所组成的三位数必定不小于200，所以，B包含的基本事件数为5×5×4=100，故

例1.11

从6个男人和9个女人组成的小组中选出5个人组成一个委员会，假定选取是随机的，问委员会正好由3男2女组成的概率是多少？

解基本事件总数为，事件包含的基本事件数为,所求概率为：第16页/共56页第15页/共56页

例1.12（分房问题）设有n个人，每个人等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住(N≥n)，求下列事件的概率：（1）指定的n个房间各住有一人；（2）恰好有n个房间，其中各住有一人（或每个房间最多住一人）；（3）指定的一个房间不空；（4）指定的一个房间恰好住k个人(k≤n)。第17页/共56页第16页/共56页

解将n个人随意地分配到N个房间，共有Nn种分配方法，记（1），（2），（3），（4）的事件分别为A,B,C,D。则第18页/共56页第17页/共56页

例1.13（抽签问题）箱中有a根红签，b根白签，除颜色外，这些签的其它方面无区别，现有a+b个人依次不放回地去抽签，求第k人抽到红签的概率。

解1

把a根红签b根白签看作是不同的(设想对它们进行编号)，若把所抽出的签依次排成一列，其排列总数为此即为基本事件总数。用Ak表示事件“第k人抽到红签”，因第人抽到红签有a种抽法，其余的次抽签，相当于个元素的全排列，有种，故事件Ak包含的样本点数为，从而第19页/共56页第18页/共56页

解2

把a根红签看成是没有区别的，把b根白签也看作是没有区别的，把所抽出的签依次放在排成一直线的a+

b个位置上，因若把a根红签的位置固定下来则其余位置必然是放白签的位置，我们以a根红签的所有不同放法作为样本点，则基本事件总数为。

由于第k次抽到红签，所以第k个位置必须放红签，剩下a-1根红签可以放在a+

b-1个位置的任意a-1个位置上，第20页/共56页第19页/共56页故事件Ak包含的样本点数为。所以所求概率为

解3

把a

根红签b根白签看作是不同的（设想对它们进行编号），以第k次抽出的签的全部可能结果作为样本空间，则样本空间中样本点总数为a+b，事件Ak包含的样本点数为a，故所求概率为第21页/共56页第20页/共56页

这个例子告诉我们，计算随机事件的概率与所选取的样本空间有关。在计算基本事件总数（样本点总数）及事件A所包含的基本事件数时，必须对一确定的样本空间考虑，若其中一个考虑顺序，则另一个也必须考虑顺序，否则结果一定不正确。

抽签问题是我们在实际中经常遇到的问题，由此例我们可以看出，每个人抽到红签的概率相同，与抽签的先后次序无关，这也与我们的实际生活经验相同。第22页/共56页第21页/共56页

例1.1415名新生中有3名优秀生，将这15名新生平均分配到三个班级中去，求下列事件的概率：（1）每一个班级各分配到一个优秀生；（2）3名优秀生分配到同一班。

解记（1），（2）的事件分别为A,B。（1）将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共3！种。对于每种分法，其余12名新生平均分配到三个班级中的分法共有种，因此事件A包含的基本事件数为，所以第23页/共56页第22页/共56页

（2）将3名优秀生分配在同一班级内的分法共有3种，对于这每一种分法，其余12名新生的分法有种，由乘法原理知事件B包含的样本点数为，故第24页/共56页第23页/共56页

【例】

假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率.

64个人生日各不相同的概率为故64个人中至少有2人生日相同的概率为解第25页/共56页第24页/共56页

【例】

从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少?解：A={4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}={4只鞋子中没两只鞋子配成一双}第26页/共56页第25页/共56页

【例】

有n个人排队，排成一圈，求甲、乙两人相邻的概率是多少?

解：(2)排成一圈是环排列，n个人的环排列有(n－1)!种，甲、乙相邻占一个位置的环排列有(n一2)!种，考虑互换性，有利事件有2×(n一2)!种．故：

更为简单的想法是：设想一个圆周上：有n个位置，甲占了一个位置后，乙还有n一1个位置可选，其中与甲相邻的位置有2个．所以:第27页/共56页第26页/共56页

【例】

某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？这是一个配对问题第28页/共56页第27页/共56页解：设Ai={第i封信装入第i个信封}i=1,2,3

A={没有一封信装对地址}直接计算P(A)不易，我们先来计算={至少有一封信装对地址}则其中：第29页/共56页第28页/共56页于是:推广到n封信,用类似的方法可得:把n

封信随机地装入n个写好地址的信封中,没有一封信配对的概率为:第30页/共56页第29页/共56页

【练习】从自然数列1，2，…，30中不放回地任取10个数，按大小排列成求事件A={x5=16}的概率。

解基本事件总数为，事件A发生相当于有4次取到小于16的数，有5次取到大于16的数，故有利于A的基本事件数为，所求概率为第31页/共56页第30页/共56页

例

k个盒子中各装有n个球，编号为1，2，…，n，从每个盒子中各取一个球，计算所得到的k个球中最大编号为m的概率（1≤m≤n

）。

分析：本题所求概率也可叙述为“从装有编号为1,2,…,n共n个球的袋中有放回地取k次，计算所得到的k个球中最大编号为m的概率（1≤m≤n

）”。

解基本事件总数为nk，有利场合数可以这样考虑：先考虑最大编号不大于m的取法，共有mk种。第32页/共56页第31页/共56页

再考虑最大编号不大于m-1

的取法，共有(m-1)k

种,因此最大编为m的取法为mk

-(m-1)k

则所求概率为

思考：若本题是不放回取球，结果又如何？

同样的问题：掷n颗骰子，得最小的点数为2的概率是多少？(“最小的点数≥2”-“最小的点数≥3”).第33页/共56页第32页/共56页【练习

】利用概率模型证明恒等式（1）（2）证（1）构造概率模型：设一袋中有n个球，其中只有1个红球，其余全是黑球，现从袋中无放回地摸出r个球。记事件A=“摸出的r个球中有红球”，则由可得到等式（1）。第34页/共56页第33页/共56页

（2）构造概率模型：设一袋中有n个球，其中有m个红球，n-m个黑球，现从袋中无放回地摸出r个球。记事件Ai=“摸出的r个球中有i个红球”，则而所以，即第35页/共56页第34页/共56页

【例*】一个人把6根绳子紧握在手中，仅露出绳子的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根绳子恰好连成一个环的概率。

【解】

取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数为。第36页/共56页第35页/共56页

用A表示“6根绳子恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根绳子的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根绳子的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以A包含的样本点数为，于是第37页/共56页第36页/共56页【例*】甲、乙两人掷均匀的硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n次，求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。【解】

本题若直接计算会比较复杂，下面我们利用对称性来考虑。

因为正面与反面所处的地位是对称的，所以事件“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”与事件“甲掷出反面的次数大于乙掷出反面的次数”的概率相等。第38页/共56页第37页/共56页注意到，{甲掷出正面的次数>乙掷出正面的次数}={甲掷出反面的次数>乙掷出反面的次数}所以,={甲掷出正面的次数≤乙掷出正面的次数}P{甲掷出正面的次数>乙掷出正面的次数}=.第39页/共56页第38页/共56页

【例*】将均匀的硬币掷n次，求“出现正面的次数多于反面的次数”的概率。

【解】

以A表示事件{正面的次数＞反面的次数}，当n为奇数时，正面的次数与反面的次数不会相等，此时={正面的次数≤反面的次数}={正面的次数＜反面的次数}={反面的次数＞正面的次数},

由于正面与反面所处的地位是对称的，则第40页/共56页第39页/共56页P{正面的次数＞反面的次数}=P{反面的次数＞正面的次数}所以，

当n为偶数时，={正面的次数≤反面的次数}={正面的次数=反面的次数}+{正面的次数＜反面的次数}第41页/共56页第40页/共56页所以，P{正面的次数＞反面的次数}==1-P{正面的次数=反面的次数}-P{正面的次数＜反面的次数}=P{正面的次数＜反面的次数}

由于正面与反面所处的地位是对称的，则P{正面的次数＞反面的次数}=P{反面的次数＞正面的次数}第42页/共56页第41页/共56页于是，P{正面的次数＞反面的次数}=第43页/共56页第42页/共56页二、几何概型

定义当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量(长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的，则事件A的概率可定义为其中，是事件A的度量，是样本空间的度量。上式所定义的概率通常称为几何概率。第44页/共56页第43页/共56页

例1.15(会面问题)甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(t<T)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.

解以x,y分别表示甲、乙到达指定地点的时刻，以A表示事件“两人能会面”，则样本空间可表示为:事件A可表示为:第45页/共56页第44页/共56页

这是一个几何概率问题（如图所示），所求概率为:第46页/共56页第45页/共56页

类似问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停靠两艘轮船的码头停泊，它们等可能地在一昼夜内的任意时刻到达。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不须等候码头空出的概率。第47页/共56页第46页/共56页

【例】从区间(0,1)中任取两个数，