Bezier曲面与B样条曲面

会计学1Bezier曲面与B样条曲面17一月20232曲面和曲线一样，是计算机图形学中研究的重要内容之一，它们在实际工作中有着广泛的应用。在工程应用中，常用的自由曲面有很多，例如：Bezier曲面、B样条曲面、Coons曲面等。在计算机出现之前以及在计算几何没有很好地发展之前，对于一些工程实际中应用的复杂自由曲面，如飞机、轮船、汽车等几何外形的描述以及地形形状的表示，传统的处理办法是用一组或几组平行平面去截这个曲面，画出几组截交线来表示这个曲面。例如：船体就是用相互正交的三组平面截得的纵剖线、横剖线和水平线表示的；曲线与曲面的生成与计算第1页/共75页17一月20233又例如：地面则是用一组水平面截得一组等高线表示的，这实际上是把曲面问题转化为曲线问题。这种处理办法称为曲线网格表示法，正是利用这些曲线网格来近似地表示自由曲面。如下所示：第2页/共75页17一月20234因此，在产生一张曲面时，我们可以利用一系列的纵横交错且相互平行的样条曲线来构造曲面，如下图所示。图

曲面的网格注：那么我们如何确定这张曲面上任意一点的位置呢？1.若这点恰好落在某一条网格线上，如右图中的A点，则就可以根据这条网格线的函数表示来计算这一点的位置（坐标）；2.若这点不在任何网格线上，如右图中的B点，则无法计算该点的精确位置，只能用离该点最近的一条网格线上的点来近似表示。第3页/共75页17一月20235对于不在网格上的点，若用离该点最近的一条网格线上的一点来近似表示，这会使得本来精度不很高的近似曲面在这一点的精度更低，所以用这种方法来产生曲面只能适合一部分精度不很高的场合。我们可以把平面里自由曲线生成方法加以推广到曲面的生成问题上，借助于曲面的解析表达式来处理有关曲面问题。曲面的种类繁多，为了便于讨论，将曲面分为两类：一类是规则曲面，如柱、锥、椭球、环、双曲面、抛物面等，它可用参数方程解析地描述；另一类是不规则曲面，如Coons曲面、Bezier曲面、B样条曲面等，这是构造某种曲面的方程问题。本节我们主要讨论Bezier曲面、B样条曲面的生成与计算。第4页/共75页17一月20236在计算机绘图中常用参数形式表示曲面，自由曲面由曲面片拼接而成，而曲面片又是由曲线构成，如下图所示：5.3曲面的参数表示图

曲面片第5页/共75页17一月20237三维空间任意曲面的图形如左图所示，曲面有两族参数曲线，或称为坐标曲线，通常简称u线和v线。图-参数曲面5.3曲面的参数表示第6页/共75页17一月20238当时，代入式子得：上式则是曲面上另一条参数曲线，即一条u线。当时，代入式子得：上式是曲面上一条参数曲线，即一条v线。图-参数曲面即参数u为定值的曲面上的线。即参数v为定值的曲面上的线。5.3曲面的参数表示第7页/共75页17一月20239上述两条参数曲线和的交点则是。事实上，用代入式子图-参数曲面也得到曲面上同一点位置矢量，即：5.3曲面的参数表示第8页/共75页17一月202310例如：如下图的平面片方程为：平面片上式中矢量为平面上一点的位置矢量，和为常矢量，且不平行于，该平面片是由矢量和张成的四边形。eg:当u=1/3,v=1/2时对应平面片中一点：r(1/3,1/2)=r0+a/3+b/25.3曲面的参数表示第9页/共75页17一月202311又如下图所示，以固定方向长度为的直线段作为母线沿给定一条空间曲线移动生成一个柱面，其方程为：上式中是沿母线方向的常矢量。

柱面直线段空间曲线5.3曲面的参数表示第10页/共75页17一月202312如前所述，Bezier曲线是一条与控制多边形顶点位置有严格关联关系的曲线，Bezier曲线形状趋向于特征多边形的形状，而且阶数由控制多边形顶点的个数决定。Bezier曲面是由Bezier曲线拓广而来，它也是以Bernstein函数作为基函数，是由Bernstein基函数构造空间点阵列的位置来控制的。Bezier曲线是由特征多边形控制的；Bezier曲面则是由特征网格顶点控制的。二者在表达式上也十分相似。5.4Bezier、B样条曲面的生成下面主要介绍工程上流行应用的Bezier曲面和B样条曲面一、Bezier（贝塞尔）曲面5.4Bezier、B样条曲面的生成第11页/共75页17一月202313（1）Bezier曲面的定义

在三维空间中，给定(n+1)X(m+1)个空间点Pij

(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m),称nXm次参数曲面：为n×m次Bezier曲面。是的控制顶点，和为Bernstein基函数，具体表示为：5.4Bezier、B样条曲面的生成第12页/共75页17一月202314如果用一系列直线段将相邻的点和一一连接起来组成一张空间网格，称这张网格为nXm次曲面特征网格。如下图所示为3X3次曲面特征网格。图

Bezier曲面特征网格类似于Bezier曲线情况，特征网格框定了Bezier曲面P(u,v)的大致形状；Bezier曲面P(u,v)是对特征网格的逼近。注：实际应用Bezier曲面时，m和n不宜过大，一般为不大于4，否则特征网格对曲面的控制会减弱。5.4Bezier、B样条曲面的生成第13页/共75页17一月202315Bezier曲面的矩阵表示形式为：5.4Bezier、B样条曲面的生成第14页/共75页17一月202316Bezier曲面有类似于Bezier曲线的性质。（2）Bezier曲面的性质性质1：端点位置由于说明是曲面的四个端点，如左图所示的3X3次曲面的4个端点。图Bezier曲面端点的切平面和边界5.4Bezier、B样条曲面的生成第15页/共75页17一月202317性质2：边界线位置Bezier曲面的四条边界线分别是以为控制多边形的Bezier曲线。图Bezier曲面端点的切平面和边界即：Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界5.4Bezier、B样条曲面的生成第16页/共75页17一月202318图Bezier曲面端点的切平面和边界性质3：端点的切平面由计算可知，三角中打上斜线的三角形）所在的平面分别在点5.4Bezier、B样条曲面的生成第17页/共75页17一月202319性质4：凸包性曲面P(u,v)位于其控制顶点Pij

(i=0,1,2,…,n;j=0,1,2,…,m)的凸包内。如下图所示：图Bezier曲面的凸包性5.4Bezier、B样条曲面的生成第18页/共75页17一月202320性质5：几何不变性曲面P(u,v)的形状和位置与坐标系选择无关，仅仅和点位置有关。（3）几个低次Bezier曲面由Bezier曲面的定义我们可以推出一次、二次以及三次Bezier曲面的数学表达式，工程上应用较多的是三次Bezier曲面。下面依次讨论：5.4Bezier、B样条曲面的生成第19页/共75页17一月2023211）双一次Bezier曲面当n=m=1时,为双一次Bezier曲面，给定(n+1)X(m+1)=2X2=4个控制点：P00、P01、P10、P11，则5.4Bezier、B样条曲面的生成第20页/共75页17一月202322其图形表示如左图所示，可以证明它是一个双曲抛物面（马鞍面）上的一块曲面片。当u=0和u=1时，代入上式得到的两条边界为直线段；当v=0和v=1时，得到的两条边界也为直线段。所以双一次Bezier曲面由四条直线段包围而成。所以有：图双一次Bezier曲面u=0u=1v=0v=15.4Bezier、B样条曲面的生成第21页/共75页17一月2023232）双二次Bezier曲面当n=m=2时,为双二次Bezier曲面，给定(n+1)X(m+1)=3X3=9个控制点：P00、P01、P02、P10、P11

、P12、P20、P21

、P22，则5.4Bezier、B样条曲面的生成第22页/共75页17一月202324所以有：从而5.4Bezier、B样条曲面的生成第23页/共75页17一月202325图双二次Bezier曲面其图形表示如左图所示，可以知道：当u取定值时，是关于v的二次参数曲线；同样，当v取定值时，是关于u的二次参数曲线；注：P00、P02、P20、P22是曲面上的四个端点5.4Bezier、B样条曲面的生成第24页/共75页17一月202326当u=0和u=1时，代入上式得到的两条边界为抛物线段；当v=0和v=1时，另外两条边界也为抛物线段。所以双二次Bezier曲面由4条抛物线段包围而成，如左图所示。显然，中间的一个顶点的变化对边界曲线不产生影响，这意味着在周边8点不变的情况下，适当调整点P11就可以控制曲面形状（凹凸性）。5.4Bezier、B样条曲面的生成图双二次Bezier曲面第25页/共75页17一月2023273）双三次Bezier曲面当n=m=3时,为双三次Bezier曲面，给(n+1)X(m+1)=4X4=16个控制点：Pij(i=0,1,2,3,j=0,1,2,3)，则5.4Bezier、B样条曲面的生成第26页/共75页17一月202328所以有：从而5.4Bezier、B样条曲面的生成第27页/共75页17一月2023295.4Bezier、B样条曲面的生成第28页/共75页17一月2023305.4Bezier、B样条曲面的生成第29页/共75页17一月202331图双三次Bezier曲面双三次Bezier曲面片的图形如左图所示。1.矩阵Ｐ表示双三次Bezier曲面片特征多面体１６个控制顶点的位置向量。显然这１６个控制点中只有４个顶点P00、P03、P30和P33位于Bezier曲面上。5.4Bezier、B样条曲面的生成第30页/共75页17一月202332

2.Ｐ矩阵中周围的１2个控制点定义了4条三次Bezier曲线，即边界曲线。其余的4个点P11、P21、P12和P22与边界曲线无关，但影响曲面片的形状，即适当调整这４个点就可以控制曲面形状（凹凸性）。图双三次Bezier曲面5.4Bezier、B样条曲面的生成第31页/共75页17一月202333（4）绘制Bezier曲面及生成程序例：上机编程绘制一三次Bezier曲面，并输出其运行结果。1.根据如下公式，编程绘制Bezier曲面。5.4Bezier、B样条曲面的生成第32页/共75页17一月202334

2.参考程序为：#definen15main(){intpx,py,pz,i,j;intx[n+1][n+1],y[n+1][n+1],x0[4][4],y0[4][4],z0[4][4];floata[4],c[4],u,v,delta;voiddraw();／＊定义画Ｂezier曲面的子函数＊／voidinput();／＊定义输入１６个控制顶点坐标的子函数＊／input(x0,y0,z0);5.4Bezier、B样条曲面的生成第33页/共75页17一月202335delta=1.0/n;／＊参数u、v对区间[0,1]的分割精度＊／for(j=0;j<=n;j+=1){v=delta*j;c[0]=(1-v)*(1-v)*(1-v);c[1]=3*v*(1-v)*(1-v);c[2]=3*v*v*(1-v);c[3]=v*v*v;for(i=0;i<=n;i+=1){

u=delta*i;a[0]=(1-u)*(1-u)*(1-u);

a[1]=3*u*(1-u)*(1-u);a[2]=3*u*u*(1-u);a[3]=u*u*u5.4Bezier、B样条曲面的生成第34页/共75页17一月202336px=mutipul(a,x0,c);py=mutipul(a,y0,c);pz=mutipul(a,z0,c);x[i][j]=(py*0.7071-px*0.7071+200)*2-300;y[i][j]=(py*0.4082-pz*0.8165+px*0.4082+200)*2-300;}}printf("outputthex[i][j]:\n");for(j=0;j<=n;j+=1){for(i=0;i<=n;i+=1)printf("x=%d\t",x[i][j]);注：因为屏幕显示器是一二维平面区域。所以在二维平面里画Bezier曲面三维立体图，应将三维空间立体坐标按某种变换转化为二维平面区域坐标。5.4Bezier、B样条曲面的生成第35页/共75页17一月202337printf("\n");getch();}printf("outputthey[i][j]:\n");for(j=0;j<=n;j+=1){for(i=0;i<=n;i+=1)printf("y=%d\t",y[i][j]);printf("\n");getch();}draw(x,y);

／＊根据点坐标Ｘ，Ｙ画三次Ｂezier曲面＊／

getch();closegraph();}注意：输出三次Ｂezier曲面上共(n+1)X(n+1)个点的Ｘ，Ｙ坐标值5.4Bezier、B样条曲面的生成第36页/共75页17一月202338/*-------------1：计算曲面上点Ｐ(u,v)的值----------------*/intmutipul(a,b,c)floata[4],c[4];intb[4][4];{intd[4],p,i,j,t;for(j=0;j<=3;j+=1){d[j]=0;for(i=0;i<=3;i+=1){t=a[i]*b[i][j];d[j]=d[j]+t;}}p=0;for(i=0;i<=3;i+=1){t=d[i]*c[i];p=p+t;}returnp;}例如：px=mutipul(a,x0,c);5.4Bezier、B样条曲面的生成第37页/共75页17一月202339/*-------------2：定义画Ｂezier曲面的子函数----------------*/voiddraw(x,y)intx[n+1][n+1],y[n+1][n+1];{inti,j;intgdriver=DETECT,gmode;initgraph(&gdriver,&gmode,"D:\\TC");setbkcolor(0);cleardevice();setcolor(15);printf(“Beziercurvedsurface\n\t");for(j=0;j<=n;j+=1){for(i=0;i<=n-1;i+=1)5.4Bezier、B样条曲面的生成第38页/共75页17一月202340{moveto(x[i][j],y[i][j]);lineto(x[i+1][j],y[i+1][j]);}}for(i=0;i<=n;i+=1){for(j=0;j<=n-1;j+=1){moveto(x[i][j],y[i][j]);lineto(x[i][j+1],y[i][j+1]);}}}注：根据曲面上点的坐标，用画直线的函数lineto连接曲面上相邻的两点，从而生成Ｂezier曲面。5.4Bezier、B样条曲面的生成第39页/共75页17一月202341/*------------3：定义输入１６个控制顶点坐标的函数-------------*/voidinput(x0,y0,z0)intx0[4][4],y0[4][4],z0[4][4];{inti,j;intx[16]={20,40,65,180,44,56,107,129,60,65,107,141,15,34,75,105};inty[16]={45,190,247,140,65,185,186,115,30,198,230,135,80,220,285,170};intz[16]={40,40,40,40,30,30,30,30,20,20,20,20,0,0,0,0};5.4Bezier、B样条曲面的生成第40页/共75页17一月202342for(i=0;i<=3;i++){for(j=0;j<=3;j++)x0[i][j]=x[i+j];}for(i=0;i<=3;i++){for(j=0;j<=3;j++)y0[i][j]=y[i+j];}for(i=0;i<=3;i++){for(j=0;j<=3;j++)z0[i][j]=z[i+j];}}注意：１６个控制顶点Ｐij(i,j=0,1,2,3)的三个分量坐标分别存放在x0,y0,z0三个二维数组中。5.4Bezier、B样条曲面的生成第41页/共75页17一月2023433.运行结果：绘制一三次Bezier曲面如下图所示。图-三次Bezier曲面5.4Bezier、B样条曲面的生成第42页/共75页17一月202344（5）Bezier曲面的拼接单个Bezier曲面可以通过以下两步生成：（１）固定v，随着u变化可得一簇Bezier曲线；（２）固定u，随着v变化可得一簇Bezier曲线；图参数曲面Bezier曲面是由Bezier曲线交织而成的曲面。5.4Bezier、B样条曲面的生成第43页/共75页17一月202345然而一个复杂的曲面往往不能用单一的Bezier曲面来实现，而要用几块Bezier曲面拼接起来。下面我们简单讨论两张双三次Bezier曲面的拼接。如右图所示，图中给出了两个相邻的Bezier曲面片，分别给命名为P(u,v)Q(u,v)。图两个相邻的Bezier曲面片5.4Bezier、B样条曲面的生成第44页/共75页17一月202346如果对中所有的v，若有就可以得到跨界位置处曲面函数的连续性．这也就意味着：两曲面片间的一个公共边界需要两个特征多边形之间的一个共同边界多边形。图两个相邻的Bezier曲面片5.4Bezier、B样条曲面的生成第45页/共75页17一月202347如下图所示。图中即表示两个曲面相接处共用的多边形边界。

图Bezier曲面片间位置P(u,v)Q(u,v)5.4Bezier、B样条曲面的生成第46页/共75页17一月202348要使得跨界处一阶导数连续，即曲面在跨界处光滑，对中的所有v，曲面片(1)在u=1的切平面必须与曲面片(2)在u=0的切平面重合，如下图所示，即边界处切平面重合。

图Bezier曲面片间位置P(u,v)Q(u,v)注：对于这一点的讨论比较复杂，可以参阅有关文件，这里我们不作重点叙述。下面仅讨论实现一阶导数连续的条件。5.4Bezier、B样条曲面的生成第47页/共75页17一月202349

图-Bezier曲面片的拼接P(u,v)Q(u,v)当两个双三次Bezier曲面拼接时，根据曲线的端点性质，可得实现一阶导数连续的条件为：1.2.即要求两曲面片在边界线处的控制点重合，且重合点处的左右控制点(共三点)在一条直线上，如左图所示。下面仅讨论实现一阶导数连续的条件。讨论5.4Bezier、B样条曲面的生成第48页/共75页17一月202350二、B样条曲面与如前所述的Bezier曲面的情况相类似，B样条曲面也是B样条曲线的推广。因此，构造B样条曲面的方法与构造Bezier曲面的方法类似，也可以通过一个特征多边形网格顶点来定义，只是基函数采用了B样条基函数。（1）B样条曲面的定义在三维空间中，给定(n+1)X(m+1)个空间点Pij

(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m)，称nXm次参数曲面：为nXm次B样条曲面。5.4Bezier、B样条曲面的生成第49页/共75页17一月202351其中：是的控制顶点，和为B样条基函数，具体表示为：5.4Bezier、B样条曲面的生成第50页/共75页17一月202352如果用一系列直线段将相邻的点和一一连接起来组成一张空间网格，称这张网格为nXm次B样条曲面特征网格。如下图所示为3X3次B样条曲面特征网格。图-

B样条曲面特征网格类似于B样条曲线情况，特征网格框定了B样条曲面P(u,v)的大致形状；B样条曲面P(u,v)是对特征网格的逼近。注：同样，实际应用B样条曲面时，m和n不宜过大，一般为不大于4，否则特征网格对曲面的控制会减弱。5.4Bezier、B样条曲面的生成第51页/共75页17一月202353（2）几个低次B样条曲面1）双一次B样条曲面当n=m=1时,为双一次B样条曲面，给定(n+1)X(m+1)=2X

2=4个控制点：P00、P01、P10、P11，则5.4Bezier、B样条曲面的生成第52页/共75页17一月202354所以有双一次B样条曲面为：图

双一次B样条曲面u=0u=1v=0v=1如左图所示，与双一次Bezier曲面一样，双一次B样条曲面也是双曲抛物面（马鞍面）上的一块曲面片。当u=0和u=1时，代入上式得到的两条边界为直线段；当v=0和v=1时，得到的两条边界也为直线段。所以双一次B样条曲面由四条直线段包围而成。5.4Bezier、B样条曲面的生成第53页/共75页17一月2023552）双二次B样条曲面当n=m=2时,为双二次B样条曲面，给定(n+1)X(m+1)=3X

3=9个控制点：P00、P01、P02、P10、P11

、P12、P20、P21、P22

，则5.4Bezier、B样条曲面的生成第54页/共75页17一月202356所以有：5.4Bezier、B样条曲面的生成第55页/共75页17一月202357从而，双二次B样条曲面为：5.4Bezier、B样条曲面的生成第56页/共75页17一月202358当u和v取定值时，曲面的v线和u线也都是抛物线。由左图可知，曲面不经过任何一个网格顶点。B样条曲面四个角点不在给定位置上，这与Bezier曲面不同。如果网格向外扩展，曲面也相应延伸。由于二次B样条基函数是一阶连续的，两双二次B样条曲面片的连接也为一阶连续。图-双二次B样条曲面5.4Bezier、B样条曲面的生成第57页/共75页17一月2023593）双三次B样条曲面当n=m=3时,为双三次B样条曲面，给定(n+1)X(m+1)=4X

4=16个控制点：Pij(i=0,1,2,3,j=0,1,2,3)，则5.4Bezier、B样条曲面的生成第58页/共75页17一月202360所以有：5.4Bezier、B样条曲面的生成第59页/共75页17一月202361从而，双三次B样条曲面为：5.4Bezier、B样条曲面的生成第60页/共75页17一月2023625.4Bezier、B样条曲面的生成第61页/共75页17一月202363图-双三次B样条曲面注：双三次B样条曲面与其特征网格关系如左图所示。双三次B样条曲面片四个角点不在给定的点的位置上。如果将网格向外扩展，曲面也相应延伸，而且由于三次B样条基函数是二阶连续的，所以双三次B样条曲面也二阶连续。与三次Ｂ样条曲线相似，双三次Ｂ样条曲面的优点是：极其自然地解决了曲面片之间的二阶导数连续性问题。只要将曲面片的特征多边形网格顶点沿某一方向延伸一排，即可产生另一块曲面片。5.4Bezier、B样条曲面的生成第62页/共75页17一月202364（3）绘制B样条曲面及生成程序例：上机编程绘制一双三次B样条曲面。1.根据如下公式，编程绘制一B样条曲面。5.4Bezier、B样条曲面的生成第63页/共75页17一月202365

2.参考程序为：/*TogenerateaBezierand3B_Spllinecurvedsurface*/#include"graphics.h"#include"math.h"#include"stdio.h"#include"conio.h"#include"stdlib.h"#definen10main(){intdriver,mode;inti,k,m,j;intx0=300,y0=300;注意：此程序为绘制一双三次Ｂ样条曲面。为了比较，程序中也给出了画双三次Bezier曲面的程序段，用户在运行程序时可以根据提示输入０（画Bezier曲面）或１（画Ｂ样条曲面），来选择所要绘制的曲面。输出图形结果见后附录。说明5.4Bezier、B样条曲面的生成第64页/共75页17一月202366intp[4][4][3]={{{12,145,50},{24,120,50},{45,117,50},{65,140,50}},{{24,65,34},{56,45,34},{87,56,34},{99,75,34}},{{43,120,20},{65,98,20},{87,100,20},{111,115,20}},{{15,160,0},{34,120,0},{55,135,0},{75,170,0}}};floatu0,u1,u2,u3,v0,v1,v2,v3;floatq10,q11,q12,q13,du,dv;floatq[n+1][n+1][3],q20[3],q21[3],q22[3],q23[3],q30[3],q31[3],q32[3],q33[3];floatx,y;printf("inputj:(0---bezier,1---B_spline)\n");5.4Bezier、B样条曲面的生成第65页/共75页17一月202367

scanf("%d",&j);driver=DETECT;mode=0;initgraph(&driver,&mode,"D:\\TC");setbkcolor(1);setcolor(15);for(i=0;i<=3;i++){for(k=0;k<=3;k++){x=(-0.7071*p[i][k][0]+0.7071*p[i][k][1]+200)*2-300;y=(0.4082*p[i][k][0]+0.4082*p[i][k][1]0.8165*p[i][k][2]+200)*2-300;if(k==0)moveto(x,y);lineto(x,y);}}5.4Bezier、B样条曲面的生成第66页/共75页17一月202368

for(i=0;i<=3;i++){for(k=0;k<=3;k++){x=(-0.7071*p[k][i][0]+0.7071*p[k][i][1]+200)*2-300;y=(0.4082*p[k][i][0]+0.4082*p[k][i][1]0.8165*p[k][i][2]+200)*2-300;if(k==0)moveto(x,y);lineto(x,y);}}du=dv=1.0/n;for(i=0;i<=n;i++){u0=(i*du)*(i*du)*(i*du);u1=(i*du)*(i*du);u2=i*du;u3=1;5.4Bezier、B样条曲面的生成第67页/共75页17一月202369if(j==0){q10=u0*(-1)+u1*3+u2*(-3)+u3*1;q11=u0*3+u1*(-6)+u2*3;q12=u0*(-3)+u1*3;q13=u0*1;}if(j==1){q10=(u0*(-1)+u1*3+u2*(-3)+u3*1)/6;q11=(u0*3+u1*(-6)+u3*4)/6;q12=(u0*(-3)+u1*3+u2*3+u3*1)/6;q13=(u0*1)/6;}for(k=0;k<=2;k++){q20[k]=q10*p[0][0][k]+q11*p[1][0][k]+q12*p[2][0][k]+q13*p[3][0][k];

q21[k]=q10*p[0][1][k]+q11*p[1][1][k]+q12*p[2][1][k]

+q13*p[3][1][k];

5.4Bezier、B样条曲面的生成第6