复变函数课后习题答案(全)

习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)(2)(4)(3)解:(1)因此:,,(2),因此,,(3),因此,,(4)因此,,2．将下列复数化为三角表达式与指数表达式:(1)(4)(2)(3)(5)解:(1)(2)(3)(4)(5)3．求下列各式的值:(1)(2)(3)(4)(5)(6)解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)4．设解:试用三角形式表示与,所以,5．解下列方程:(1)(2)解:(1)由此,(2),当时,对应的4个根分别为:6．证明下列各题:(1)设则证明:首先,显然有其次,因;固此有从而。(2)对任意复数有证明:验证即可,首先左端,而右端,由此,左端=右端,即原式成立。(3)若就是实系数代数方程的一个根,那么也就是它的一个根。证明:方程两端取共轭,注意到系数皆为实数,并且根据复数的乘法运算规则,由此说明:若为实系数代数方程的一个根,则也就是。结论得证。,由此得到:(4)若则皆有证明:根据已知条件,有,因此:,证毕。(5)若证明:,则有,,因为,所以,,因而,即,结论得证。7.设试写出使达到最大的的表达式,其中为正整数,为复数。解:首先,由复数的三角不等式有,在上面两个不等式都取等号时达到最大,为此,需要取与同向且,即应为的单位化向量,由此,,8.试用来表述使这三个点共线的条件。解:要使三点共线,那么用向量表示时,的整数倍,再由复数的除法运算规则知与应平行,因而二者应同向或反向,即幅角应相差或应为或的整数倍,至此得到:三个点共线的条件就是为实数。9.写出过两点的直线的复参数方程。解:过两点的直线的实参数方程为:,因而,复参数方程为:其中为实参数。10.下列参数方程表示什么曲线？(其中为实参数)(1)(2)(3)解:只需化为实参数方程即可。(1),因而表示直线(2),因而表示椭圆(3),因而表示双曲线11.证明复平面上的圆周方程可表示为其中为复常数,为实常数,证明:圆周的实方程可表示为:,代入,并注意到,由此,整理,得记,则,由此得到,结论得证。12.证明:幅角主值函数在原点及负实轴上不连续。证明:首先,在原点无定义,因而不连续。的定义不难瞧出,当由实轴上方趋于时,对于,由,而当由实轴下方趋于时,,由此说明不存在,因而在点不连续,即在负实轴上不连续,结论得证。13.函数解:对于把平面上的曲线与分别映成平面中的什么曲线？,代入映射函数中,得,其方程可表示为,因而映成的像曲线的方程为即,消去参数,得表示一个圆周。对于,其方程可表示为代入映射函数中,得因而映成的像曲线的方程为圆周。,消去参数,得,表示一半径为的14.指出下列各题中点的轨迹或所表示的点集,并做图:解:(1),说明动点到的距离为一常数,因而表示圆心为,半径为的圆周。的距离大于或等于的点构成的集合,即圆心为半径为的圆周及圆周外部(2)就是由到的点集。(3)说明动点到两个固定点1与3的距离之与为一常数,因而表示一个椭圆。代入化为实方程得(4)(5)说明动点到与的距离相等,因而就是与连线的垂直平分线,即轴。,幅角为一常数,因而表示以为顶点的与轴正向夹角为的射线。15.做出下列不等式所确定的区域的图形,并指出就是有界还就是无界,单连通还就是多连通。(1)(2),以原点为心,内、外圆半径分别为2、3的圆环区域,有界,多连通,顶点在原点,两条边的倾角分别为的角形区域,无界,单连通(3),显然,并且原不等式等价于,说明到3的距离比到2的距离大,因2后的点构成的集合,就是一无界,多此原不等式表示2与3连线的垂直平分线即2、5左边部分除掉连通区域。(4),显然该区域的边界为双曲线,化为实方程为,再注意到到2与到2的距离之差大于1,因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分,就是一无界单连通区域。(5),代入,化为实不等式,得所以表示圆心为习题二答案半径为的圆周外部,就是一无界多连通区域。1．指出下列函数的解析区域与奇点,并求出可导点的导数。(1)(2)(3)(4)解:根据函数的可导性法则(可导函数的与、差、积、商仍为可导函数,商时分母不为0),根据与、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式,再注意到区域上可导一定解析,由此得到:(1)(2)处处解析,处处解析,(3)的奇点为,即,(4)的奇点为,