《平面向量共线的坐标表示》命题方向分析

《平面向量共线的坐标表示》命题方向分析命题方向1三点共线问题例1.O是坐标原点，eq\o(OA,\s\up15(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up15(→))＝(10，k)．当k为何值时，A、B、C三点共线？[分析]由A、B、C三点共线可知，eq\o(AB,\s\up15(→))、eq\o(AC,\s\up15(→))、eq\o(BC,\s\up15(→))中任两个共线，由坐标表示的共线条件解方程可求得k值．[解析]∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A、B、C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(BC,\s\up15(→))共线，∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝11，或k＝－2.规律总结：使用A、B、C三点共线这一条件时，eq\o(AC,\s\up15(→))＝λeq\o(BC,\s\up15(→))，或eq\o(AB,\s\up15(→))＝λeq\o(AC,\s\up15(→))等，都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式，故用eq\o(AB,\s\up15(→))和eq\o(BC,\s\up15(→)).命题方向2根据点的位置求参数例2.已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(AB,\s\up15(→)).(1)t为何值时，点P在x轴上？在y轴上？在第二象限？(2)四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．[分析](1)将eq\o(OP,\s\up15(→))用坐标表示，根据坐标系性质可得．(2)只需由eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\o(PB,\s\up15(→))求出t或无解即可．[解析](1)eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(AB,\s\up15(→))＝(1＋3t,2＋3t)，若点P在x轴上，只需2＋3t＝0，即t＝－eq\f(2,3)；若点P在y轴上，只需1＋3t＝0，即t＝－eq\f(1,3)；若点P在第二象限，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t>0，))解得－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).(2)不能．理由：eq\o(OA,\s\up15(→))＝(1,2)，eq\o(PB,\s\up15(→))＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，需eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\o(PB,\s\up15(→))，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2，))此方程组无解，故四边形OABP不能成为平行四边形．命题方向3向量法解几何问题例3.已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标．[分析]由直线AC与OB的交点为P知A、C、P三点共线，B、O、P三点共线．利用向量共线的坐标运算进行求解．[解析]设点P(x，y)，则eq\o(OP,\s\up15(→))＝(x，y)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(4,4)，∵P、B、O三点共线，∴eq\o(OP,\s\up15(→))∥eq\o(OB,\s\up15(→)).∴4x－4y＝0.又eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(OP,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P、A、C三点共线，∴eq\o(AP,\s\up15(→))∥eq\o(AC,\s\up15(→)).∴6(x－4)＋2y＝0.由eq\b\lc\